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Functions of several variables and absolute continuity. II. (English) JFM 66.1225.01
Die Arbeit ist eine unmittelbare Fortsetzung der vorstehend besprochenen Arbeit von Calkin, auf deren Referat auch hinsichtlich der Bezeichnungen Bezug genommen wird.
I. Zunächst handelt es sich um das Verhalten der Funktionenklassen \(\mathfrak P\), \(\mathfrak P^{\prime\prime}\) usw. bei Transformationen (Abbildungen) der unabhängig Veränderlichen, wobei über die Abbildung außer Ein-eindeutigkeit und Stetigkeit noch vorausgesetzt wird: Dehnungsbeschränktheit der Abbildung nebst ihrer Umkehrung in jeder abgeschlossenen, beschränkten Teilmenge des Urbild- bzw. Bildbereiches \(D\) bzw. \(B\) (Transformationen der Klasse \(K\)) oder Dehnungsbeschränktheit im ganzen \(D\) und \(B\) (reguläre Transformationen) oder stetige Differenzierbarkeit in \(D\) und \(B\) (Transformationen der Klasse \(C^\prime\)). Es wird dann die Invarianz der Klassen \(\mathfrak P\) und \(\mathfrak P^{\prime\prime}\) (auf dem offenen \(D\)) bei Transformationen der Klasse \(K\) nachgewiesen; d. h.: Ist \(f (x) \in \mathfrak P\) oder \(f (x) \in \mathfrak P^{\prime\prime}\) auf \(D\) und \(x = x(y)\) von der Klasse \(K\), wobei \(D\) auf \(B\) abgebildet wird, so ist \(f(x(y)) = F(y) \in \mathfrak P\) bzw. \(F(y) \in \mathfrak P^{\prime\prime}\) auf \(B\). Ist \(x(y)\) in \(y_0\) differenzierbar, und existieren die v. D. von \(f (x)\) in \(x_0= x(y_0)\), so existieren die v. D. von \(F(y)\) in \(y_0\), und es gilt die bekannte Regel \(\left(D_{y_k} (F)\right)_{y_0} = \sum\limits_{\nu = 1}^n \left(D_{x_\nu} (f)\right)_{x_0} \left( \dfrac {\partial x_\nu}{\partial y_k}\right)_{y_0}\), \(k=1, \dots, n\). Entsprechend sind \(\mathfrak P_\alpha \) und \(\mathfrak P_\alpha^{\prime\prime} \) invariant bei regulären Transformationen (der Klasse \(K\)). Für \(\mathfrak P^{\prime} \) gilt, mit gewisser Einschränkung, ähnliches.
II. Sodann wird das Verhalten der (im allgemeinen nichtstetigen) Funktionen aus \(\mathfrak P_\alpha \) in den Randpunkten der Definitionsgebiete von der Klasse \(K\) untersucht. Ein Gebiet \(\mathfrak G\) wird dabei zur Klasse \(K\) gerechnet bzw. zur Klasse \(C^\prime\), wenn die abgeschlossene Hülle \(\bar{\mathfrak G} \) von \(\mathfrak G \) überdeckbar ist mit endlich vielen, in \(\bar{\mathfrak G}\) offenen Mengen \(\mathfrak U_\tau\), \(\tau = 1,\dots, t\), deren jede vermöge einer regulären Transformation der Klasse \(K\) bzw. \(C^\prime\) Bild entweder des offenen Einheitswürfels \(W_n = ( |y_\nu | < 1,\) \(\nu = 1,\dots, n)\) oder des Durchschnittes \(W^\prime_n\) von \(W_n\) mit \(y_n \leqq 0\) ist; im letzten Fall sollen die in \(\mathfrak U_\tau\) enthaltenen Punkte des Randes \(\mathfrak G^*\) von \(\bar{\mathfrak G}\) Bilder der auf \(y_n = 0\) gelegenen Punkte von \(W^\prime_n\) sein. Auf \(\mathfrak G^* \) wird dann im Falle eines Gebietes \(\mathfrak G \) der Klasse \(K\) vermöge der (lokalen) Abbildung auf \(W^\prime_n\) in bekannter Weise ein System meßbarer Mengen \(e\) und zu diesem ein Maß \(m(e)\) definiert, so daß unter anderem in \(\mathfrak G^* \) Funktionenklassen \(L_\alpha\) usw. erklärbar sind (\(f(z)\) gehört zu \(L_\alpha\) mit \(\alpha > 1\), wenn \(|f |^\alpha\) summierbar ist). Es wird unter anderem gezeigt: Ist \(f(x) \in \mathfrak P_\alpha \) auf dem Gebiete \(\mathfrak G \) der Klasse \(K\), so existiert eine Folge von Funktionen \(f_\mu (x)\) deren jede einer gleichmäßigen Lipschitzbedingung in \(\bar{\mathfrak G}\) genügt, und welche für \(\mu \to +\infty\) in \(\mathfrak P_\alpha \) stark (d. h. im Mittel von der Ordnung \(\alpha\)) auf \(\mathfrak G\) gegen \(f (x)\) konvergieren und auf \(\mathfrak G^* \) gegen eine Funktion \(\varphi (x) \in L_\alpha\); bei regulären Transformationen \(x= x(y)\) (der Klasse \(K\)) transformiert sich \(\varphi (x)\) in die zu den Transformierten \(F(y) = f (x(y))\), \(F_\mu (y) = f_\mu (x(y))\) bezüglich des Bildes von \(\mathfrak G\) usw. gehörige Funktion \(\varPhi (y)\); ist \(\varphi (x) = 0\) fast überall auf \(\mathfrak G^*\), so kann \(f_\mu (x)\) derart gewählt werden, daß \(f_\mu (x)\) in einer Umgebung von \(\mathfrak G^*\) sowie in \(\mathfrak G^*\) selbst verschwindet. Man sagt: Es nimmt \( f (x)\) in \(\mathfrak G^*\) bezüglich \(\mathfrak G\) die Randwerte \(\varphi (x)\) an (vgl. dazu Courant-Hilbert, Methoden der mathematischen Physik II (1937; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 449), Kap. VII, § 1). Von Sätzen bezüglich der Randwerte sei nur erwähnt: Es sei \(f(x) \in \mathfrak P_\alpha\) auf \(\mathfrak G\); ferner sei \(\mathfrak H\) ein Teilgebiet der Klasse \(K\) von \(\mathfrak G\) mit \(\bar{\mathfrak H} \subset \mathfrak G\) und \(u (x) \in \mathfrak P_\alpha\) auf \(\mathfrak H\) mit \(D_\alpha (u, \mathfrak H) < + \infty\); besitzen dann \(f(x)\) und \(u(x)\) die gleichen Randwerte in \(\mathfrak H^*\) bezüglich \(\mathfrak H\), und ist \(w(x) = u (x)\) für \(x \in \mathfrak H\), \(w(x) = f (x)\) für \(x \in \mathfrak G - \mathfrak H\), so ist \(w(x) \in \mathfrak P_\alpha \) auf \(\mathfrak G\).
III. Es folgen Sätze über schwache Konvergenz und Kompaktheit im Banach-Raum \(\mathfrak P_\alpha \) (vgl. Referat Calkin). Das allgemeinste lineare Funktional über \(\mathfrak P_\alpha \) bei beschränktem Gebiet \(\mathfrak G\) ist darstellbar in der Form \[ \psi (f) = \int\limits_{\mathfrak G} \left[A(x) f(x) + \sum_{\nu=1}^n A_\nu (x) D_{x_\nu} (f) \right]\, dx, \] wo \(A (x)\) und \(A_\nu (x)\) für \(\alpha = 1\) zur Klasse \(\mathfrak M\) gehören (d. h. meßbar und im wesentlichen beschränkt sind) bzw. für \(\alpha > 1\) zur Klasse \(L_\beta\) mit \(\beta^{-1} + \alpha^{-1} = 1\). Notwendig und hinreichend für schwache Konvergenz der \(f_\mu (x)\) gegen \(f(x)\) in \(\mathfrak P_\alpha\) auf \(\mathfrak G\) für \(\mu \to +\infty\) ist, daß \(f_\mu (x) \in \mathfrak P_\alpha\), \(f (x) \in \mathfrak P_\alpha\) und daß \(f_\mu (x)\) bzw. \(D_{x_\nu} (f_\mu)\) schwach in \(L_\alpha\) auf \(\mathfrak G\) gegen \(f (x)\) bzw. gegen \(D_{x_\nu}(f)\) konvergieren, \(\nu = 1, \dots, n\). Ferner werden Ungleichungen bezüglich schwacher Konvergenz angegeben; Beispiel: \[ \int\limits_{\mathfrak G} |f(x)|^\alpha dx \leqq \underset {\mu \to \infty } {\underline{\text{Lim}}} \int\limits_{\mathfrak G} |f_\mu(x)|^\alpha dx. \] Auch wird die Invarianz der schwachen Konvergenz in \(\mathfrak P_\alpha\) über \(\mathfrak G\) bei regulärer Transformation (der Klasse \(K\)) bewiesen. – Konvergieren die \(f_\mu (x)\) schwach in \(\mathfrak P_\alpha\) auf \(\mathfrak G\) gegen \(f (x)\) bei beschränktem \(\mathfrak G\), so konvergieren die \(f_\mu (x)\) stark gegen \(f(x)\) in \(L_\alpha\) auf jedem abgeschlossenen, in \(\mathfrak G\) enthaltenen \([a, b]\). Ist \(\mathfrak G\) von der Klasse \(K\), so konvergieren die \(f_\mu(x)\) auf \(\mathfrak G\) bzw. deren Randwerte \(\varphi_\mu (x)\) auf \(\mathfrak G^*\) bezüglich \(\mathfrak G\) stark in \(L_\alpha\) gegen \(f (x)\) bzw. gegen die Randwerte \(\varphi (x)\) von \(f (x)\). Den Schluß dieses Abschnittes bilden Kompaktheitssätze. Für \(\alpha > 1\) ist eine Menge von Funktionen \(f (x) \in \mathfrak P_\alpha\) kompakt (bezüglich der schwachen Konvergenz in \(\mathfrak P_\alpha\)) dann und nur dann, wenn die \(f (x)\) gleichmäßig beschränkt sind in \(\mathfrak P_\alpha\). Verschiedene hinreichende Bedingungen für gleichmäßige Beschränktheit in \(\mathfrak P_\alpha\) werden angegeben. Für den Fall \(\alpha = 1\) lautet ein Kompaktheitskriterium (bei beschränktem \(\mathfrak G\)): nicht nur ist \(\bar{D}_1 (f;\mathfrak G)\) gleichmäßig beschränkt, sondern es existiert auch eine nicht negative konvexe Funktion \(g(r_1, \dots, r_n)\) mit \[ \lim\limits_{|r| \to + \infty} | r|^{-1} g(r_1, \dots, r_n) = + \infty \quad \text{für} \quad |r|^2 = \sum_{\nu = 1}^n r_\nu^2 \] und mit gleichmäßig beschränkten \[ \int\limits_{\mathfrak G} g \left( D_{x_1}(f), \dots, D_{x_n}(f)\right)\, dx. \]
IV. Schließlich wird das Randverhalten der Funktionen aus \(\mathfrak P_\alpha\) bei allgemeinen beschränkten Gebieten \(\mathfrak G\) untersucht. Unter anderem wird eine notwendige und hinreichende Bedingung angegeben dafür, daß \(f (x)\) auf \(\mathfrak G^*\) “verschwindet”. Diese Bedingung ist invariant gegenüber regulärer Transformation (der Klasse \(K\)).

Subjects:
Zweiter Halbband. D. Analysis. 3. Differentiation und Integration reeller Funktionen. a) Allgemeine Eigenschaften reeller Funktionen.
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