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Extremal quasiconformal maps and quadratic differentials. (Extremale quasikonforme Abbildungen und quadratische Differentiale.) (German) JFM 66.1252.01

Es wird das Programm für die Erschließung eines Forschungsgebiets entwickelt, das als Theorie der quasikonformen Abbildung über die Theorie der konformen Abbildung hinaus errichtet werden soll, um deren Ergebnisse einzubetten, deren Grenzen aufzuzeigen und vor allem auch eine Reihe von Klassifikationsfragen aufzurollen, die im konformen allein nicht angreifbar sind: Es geht dabei um die Invarianten, welche topologisch gleichartige, aber konform nicht ineinander abbildbare Gebiete kennzeichnen. Vorweg ist festzustellen, daß es sich bei der Arbeit vor allem um eine Kette von Vermutungen handelt, in denen Verf. niederlegt, wie nach seinen Betrachtungen diese Theorie im wesentlichen aussehen müßte; zwar kann er eine Anzahl wichtiger Ergebnisse sichern und einige Hauptpunkte ebenso in Sonderfällen bestätigen wie heuristisch allgemeiner plausibel machen; durch interessante Betrachtungen können andere in ihrer Gestalt erraten werden; allgemeine Beweise fehlen aber. Die ausführliche Veröffentlichung soll gerade auch andere dazu anregen, diese Probleme anzugreifen.
Es wird auch im Rahmen des Referats unmöglich sein, Bewiesenes und Vermutetes scharf zu trennen; wir müssen uns damit begnügen, die Ideenrichtung darzulegen.
Hauptbereich heißt eine endliche, berandete oder nicht berandete Riemannsche Mannigfaltigkeit, die möglicherweise noch durch Auszeichnung einer festen Zahl von Innen- und Randpunkten belastet ist. Zur Beschreibung dienen folgende Anzahlen: \(g\) Henkel, \(\gamma\) Kreuzhauben, \(n\) Randkurven, \(h\) ausgezeichnete Innenpunkte, \(k\) ausgezeichnete Randpunkte. \(\varrho\) sei die Parameterzahl der kontinuierlichen Gruppe der konformen Abbildungen des Hauptbereiches auf sich selbst. Es seien alle Hauptbereiche betrachtet, die einem gegebenen topologisch äquivalent sind. Diejenigen unter ihnen, welche konform ineinander abbildbar sind, seien zu je einer Klasse zusammengefaßt. Verf. nimmt ohne Beweis an: Diese Klassen bilden eine topologische Mannigfaltigkeit, die im Kleinen dem \(\sigma\)-dimensionalen euklidischen Raum homöomorph ist \((\sigma \geqq 0)\). Die konformen Invarianten sind dann genau die Funktionen in diesem \(R^\sigma\). In Analogie zum Riemann-Rochschen Satz gilt eine Dimensionsformel \[ \sigma - \varrho = - 6 + 6g + 3\gamma + 3n + 2h + k. \]
Eine Abbildung heißt quasikonform, wenn sie im Kleinen eindeutig, hin und her stetig differenzierbar ist und beschränkten Dilatationsquotienten \(D\) zeigt: Dabei ist \[ D = |K| + \sqrt{K^2 - 1}, \quad K = \tfrac 12 \,\frac{u_x^2 + u_y^2 + v_x^2 + v_y^2}{u_x v_y - v_x u_y}. \] \(D \geqq 1\) bezeichnet das Achsenverhältnis der Bildellipse eines infinitesimalen Kreises; \(D = 1\) kennzeichnet einen Konformitätspunkt, \(D \equiv 1\) Konformität. \(D\) ist in beiden Abbildungsrichtungen gleich.
Die Hauptfragen des Verf. sind nun die folgenden:
I. Gegeben ein Hauptbereich und eine konforme Invariante \(J\), sowie ein \(C > 1\). Welche Werte erhält J für diejenigen Hauptbereiche, welche aus dem gegebenen durch quasikonforme Abbildungen mit Dilatationsquotienten \(D \leqq C\) hervorgehen?
II. Gesucht werden alle quasikonformen Abbildungen eines Hauptbereichs \(P\) auf andre Hauptbereiche, wobei entweder \(D \leqq C\) oder \(D < C\) einzuhalten ist – m. a. W. gesucht wird die abgeschlossene oder die offene C-Umgebung von P im \(R^\sigma\).
III. Zwei zwar topologisch, aber nicht konform äquivalente Hauptbereiche \(P\), \(Q\) (d. i. zwei Klassen eines \(R^\sigma\)) können durch allgemeinere als konforme Abbildungen, insbesondere quasikonforme, aufeinander bezogen werden. Die “Entfernung” \([P, Q]\) werde definiert durch den Logarithmus der unteren Grenze von den Maxima der Dilatationsquotienten bei allen diesen Abbildungen. Es soll nun die Gesamtheit der extremalen quasikonformen Abbildungen bestimmt werden, für die überall der Dilatationsquotient kleinergleich exp \([P, Q]\) ist. Die Probleme I, II ordnen sich hier unter.
An einer größeren Zahl der einfachsten Beispiele von Hauptbereichen werden diese Fragestellungen erörtert. Die Ergebnisse legen folgende Hauptvermutungen nahe:
A. Bei einer extremalen quasikonformen Abbildung ist der Dilatationsquotient konstant.
B. Im Falle \(D > 1\) wird durch denjenigen Durchmesser des infinitesimalen Kreises, der in die große Achse der Bildellipse übergeht, in jedem Punkte eine Richtung ausgezeichnet – jeder Hauptbereich also bei der behandelten Abbildung mit einem Richtungsfeld belegt. Für extremale quasikonforme Abbildungen werden diese Richtungsfelder bestimmt durch quadratische Differentiale \(d\zeta^2\) (siehe unten), und zwar durch die Richtungen, in denen ein solches positiv ist.
Differentiale beliebiger ganzer Dimension \(n\) werden erklärt als gleich \(\varphi(t)\, dt^n\), wo \(\varphi(t)\) eine meromorphe Funktion der Fläche und \(t\) eine Ortsuniformisierende ist, derart, daß dieser Ausdruck beim Übergang zu einer neuen Ortsuniformisierenden invariant bleibt.
Verschiedene topologisch äquivalente Hauptbereiche können aus einem bestimmten unter ihnen, \(\mathfrak H_0\), durch eine auf \(\mathfrak H_0\) vorgeschriebene Riemannsche Metrik gekennzeichnet werden, wofür eine neue Schreibweise zweckmäßig ist: \[ ds^2 = E\,dx^2 + 2F\,dx\,dy + G\,dy^2 = \varLambda |dz |^2 + \mathfrak R\, H \,dz^2; \] \(\varLambda = \tfrac 12 (E + G)\) ist eine reelle, \(H = \tfrac 12 (E - G) - iF\) eine komplexe Funktion von \(z\). Diese Metrik wird nur bis auf einen positiven (veränderlichen) Faktor \(\lambda\) bestimmt \((ds^2 \sim \lambda \,ds^2)\). Übrigens wird dann \[ \varDelta = \sqrt{EG - F^2} = \sqrt{\dfrac{\varLambda + |H|} {\varLambda - |H|}}, \quad K = \dfrac{E + G}{\varDelta}, \quad D = K + \sqrt{K^2 - 1}. \] Das Problem der extremalen quasikonformen Abbildung geht dadurch über in das folgende: Sind auf \(\mathfrak H_0\) zwei Metriken gegeben, also durch sie zwei Hauptbereiche \(\mathfrak H_1, \mathfrak H_2\) gekennzeichnet, so soll eine Abbildung \(A\) von \(\mathfrak H_0\) auf sich selbst so bestimmt werden, daß das Maximum des Dilatationsquotienten \(D\) für das Metrikenpaar \(ds_1^2(\mathfrak p)\) und \(ds_2^2(A\mathfrak p)\) möglichst klein wird.
Es werden nun zunächst unter Beschränkung auf geschlossene orientierbare Flächen ohne ausgezeichnete Punkte infinitesimale quasikonforme Abbildungen eines solchen Hauptbereichs auf einen benachbarten studiert: Darunter soll eine “unendlich kleine Abänderung der Metrik” verstanden werden. Eine solche Abbildung, die nur infinitesimal von einer konformen abweicht, kann durch \[ \varLambda = \lambda + \varepsilon L, \qquad H = \varepsilon \lambda B \quad \;\text{ oder } \quad \;ds^2 = (\lambda + \varepsilon L) (| dz |^2 + \varepsilon \mathfrak R B\, dz^2) \] beschrieben werden; und da es auf einen positiven Faktor des \(ds^2\) nicht ankommt, so kennzeichnet \(B\) allein oder auch \[ q = \varepsilon B \frac{dz^2}{|dz|^2} \] diese infinitesimale Abbildung. \(B\) ist eine komplexwertige Ortsfunktion mit Invarianz von \(B\, dz^2 : | dz |^2\) bei einem Wechsel der Ortsuniformisierenden.
Es wird nach dieser Invarianz eine geeignete Klasseneinteilung der \(B\) getroffen und dann das Problem behandelt, in jeder Klasse eine Abbildung mit minimalem Maximum von \(| B |\) zu suchen. \(\underline{\text{Fin}}\) Max \(| B |\) ist Abstand der Klasse von 0. Die im Kleinen extremalen infinitesimalen quasikonformen Abbildungen lassen sich bestimmen, aus ihnen sind die im Großen extremalen auszusieben. Jene Klassen bilden übrigens einen linearen metrischen Raum \(L^\sigma\).
Nunmehr wird neben den geschlossenen orientierbaren Flächen ohne ausgezeichnete Punkte die Verallgemeinerung auf beliebige endliche Mannigfaltigkeiten als Hauptbereichträger ausgeführt, wobei im wesentlichen die bekannte Verdopplung zum Ziele führt. Die regulären quadratischen und die reziproken Differentiale sind dabei wieder parallel zum Früheren eingehend zu studieren. Unter einem regulären quadratischen Differential des Hauptbereichs \(\mathfrak H\) wird ein quadratisches Differential des Trägers von \(\mathfrak H\) verstanden, welches überall endlich ist – abgesehen höchstens von Polen 1. Ordnung in den ausgezeichneten Punkten von \(\mathfrak H\). Es kann bestätigt werden (ähnlich wie oben schon), daß das Problem der extremalen infinitesimalen quasikonformen Abbildungen gelöst wird durch die aus 0 und den \(c\, \dfrac{d\zeta^2}{|d\zeta|^2}\) bestehende Menge, wo \(c > 0\) ist und \(d\zeta^2\) ein nicht identisch verschwindendes reguläres quadratisches Differential von \(\mathfrak H\).
Drittens folgt nach dem Studium der infinitesimalen das der endlichen quasikonformen Abbildungen. Verf. vermutet (und bestätigt an den durchführbaren Sonderfällen), daß die extremalen endlichen quasikonformen Abbildungen aus den infinitesimalen entstehen, indem man die Richtungsfelder beibehält und den Dilatationsquotienten endliche konstante Werte \(> 1\) erteilt. Die Extremaleigenschaft der Abbildungen zu \[ ds^2 = \lambda(|d\zeta|^2 + c\mathfrak R\,d\zeta^2) \] kann nachgewiesen werden. Die Klassen der quasikonformen Abbildungen bilden hier einen Finslerschen Raum; eine durch Integration über die \(c\) begründete Abstandsdefinition erweist sich mit der unter III eingangs erwähnten als identisch; in diesem Zusammenhang verdient eine Reihe schöner Betrachtungen über Geodätische Beachtung.
Es folgt eine eingehende Erörterung der einfachsten Fälle der konformen Abbildungen eines Hauptbereichs auf sich selbst und einige Bemerkungen über die Ringfläche.
Der Schluß der Arbeit wendet sich einigen Gegenständen zu, welche der eigentlichen Funktionentheorie am nächsten stehen: Der Grötzsch-Ahlforsschen Methode, gewissen Extremalproblemen der konformen Abbildung und schließlich der Bedeutung der Methode der quasikonformen Abbildung für die Funktionentheorie, insbesondere für das Typenproblem der Riemannschen Flächen – wozu ja Verf. schon früher wichtige Beiträge gegeben hat (z. B. Deutsche Math. 2 (1937), 321-327; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 303).
Vgl. auch Abh. Preuß. Akad. Wiss., math.-naturw. Kl. 1941, Nr. 5 (1941, JFM 67.0289.02)]; dort wird ein weiterer wichtiger Sonderfall bewiesen, der die Erwartungen des Verf. unterstützt.

MSC:

30Fxx Riemann surfaces
32Gxx Deformations of analytic structures

Citations:

JFM 67.0289.02
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