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A general theory of spectra. I. (English) JFM 66.1284.03
Es wird über eine neue Grundlegung der Spektraltheorie berichtet, in der allgemeine Funktionen von Operatoren ohne Zuhilfenahme einer Integrationstheorie auf algebraischem Wege eingeführt werden. Es wird ein kommutativer und assoziativer Ring \(R\) mit Einheitselement \(e\) betrachtet, der folgende Eigenschaften hat: Für jedes natürliche \(n\) hat die Gleichung \(nx = e\) eine Lösung in \(R\); es gibt eine Teilmenge \(P\) positiver Elemente in \(R\), so daß Summen und Produkte positiver Elemente wieder positiv sind, \(a\) und \(-a\) nur im Fall \(a = 0\) beide positiv sind; das Quadrat jedes Elementes ist positiv; zu jedem \(a \in R\) gibt es ein \(n\), so daß \(ne + a\) positiv ist; ist \(e + na\) positiv für jede natürliche Zahl \(n\), so ist \(a\) positiv in \(R\) läßt sich mit den bisherigen Eigenschaften eine Norm \(\|a\|\) einfuhren, es wird schließlich noch verlangt: \(R\) ist bezüglich der Metrik \(\|a -b\|\) ein vollständiger metrischer Raum.
Es gilt nun, daß \(R\) algebraisch isomorph zum Ring aller reellen stetigen Funktionen auf einem bikompakten Hausdorffschen Raum \(S(R)\) ist; die positiven Elemente von \(R\) entsprechen den nichtnegativen Funktionen; \(S(R)\) ist bis auf topologische Äquivalenz eindeutig bestimmt. Umgekehrt ist das System aller reellen stetigen Funktionen auf einem bikompakten Hausdorffschen Raum stets ein Ring \(R\).
Ist \(F(\lambda)\) eine stetige für alle reellen \(\lambda\) erklärte Funktion, \(a\) ein Element aus \(R\), \(f\) die \(a\) entsprechende Funktion auf \(S(R)\), so ist \(F(f)\) wieder eine Funktion auf \(S(R)\), der ein Element aus \(R\) entspricht, das als \(F(a)\) zu bezeichnen ist. Auf diese Weise lassen sich Funktionen von Operatoren \(a\) erklären. Auch nichtbeschränkte und nichtstetige Funktionen ergeben sich in ähnlich einfacher Weise.
Es wird auf Zusammenhange mit früheren Untersuchungen des Verf. über Boolesche Algebren (Trans. Amer. math. Soc. 41 (1937), 375-481; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 1173), Untersuchungen von S. W. Steen (Proc. London math. Soc. 45 (1939), 562-578 (F. d. M. 65, 1319 (JFM 65.1319.*)) und frühere) und J. v. Neumann (Rec. math., Moscou, (2) 1 (1936), 415-484; F. d. M. 62, 447 (JFM 62.0447.*)) hingewiesen.

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