×

Cubiques auto-inverses isogonales par rapport à un triangle. (French) JFM 66.1322.04

Eine Kurve heißt auto-invers isogonal, wenn sie durch eine isogonale Inversion in sich selbst übergeht. Eine isogonale Inversion ordnet jedem Punkt \(P\) in der Ebene des Grunddreiecks den isogonalen Punkt \(P'\) zu. Um diesen zu finden, legt man durch \(P\) die drei Eckenlinien \(AP\), \(BP\), \(CP\) und konstruiert zu jeder von ihnen die isogonale, d. h. bezüglich der Winkelhalbierenden spiegelbildliche Eckenlinie; diese drei neuen Eckenlinien schneiden sich in \(P'\).
Verf., der sich schon früher mehrfach mit den auto-invers isogonalen Kurven bezüglich eines Dreiecks beschäftigt hat, gibt hier eine inhaltreiche Studie über die Kubiken dieser Art. Es gibt drei Familien solcher Kubiken, definiert durch die Gleichungen \[ \begin{aligned} &a (x^3+ y^2z) + b (x^2y + xyz) + c (y^2 x + x^2z) = 0, \tag{\text{C}}\\ &a (x^3 - y^2z) + b(x^2y - xyz) + c(y^2x - x^2z) = 0, \tag{\text{D}}\\ &ax (y^2 + z^2) + by(z^2 + x^2) + cz(x^2 + y^2) + dxyz =0, \tag{\text{E}}\\ &ax(y^2- z^2) + by (z^2-x^2) + cz (x^2-y^2) = 0, \tag{\text{F}} \end{aligned} \] (\(a\), \(b\), \(c\), \(d\) beliebige Koeffizienten). Die Gleichungen (C) und (D) ergeben dieselbe Familie. Verf. gibt zunächst eine Anzahl allgemeiner Sätze über auto-invers isogonale Kurven an, die nachher bei der Untersuchung der auto-invers isogonalen Kubiken angewendet werden. Sodann betrachtet er die erste, durch die Gleichungen (C) und (D) definierte Familie von Kubiken. Diese haben eine Ecke des Grunddreiecks zum Doppelpunkt und gehen durch eine zweite Ecke und durch die Mittelpunkte zweier Berührungskreise des Dreiecks, die auf einer Winkelhalbierenden durch diese zweite Ecke liegen. Die Kubiken der durch die Gleichung (E) definierten Familie gehen durch die drei Ecken des Grunddreiecks und können als Ort der Punkte definiert werden, deren Fußpunktkreis bezüglich des Dreiecks zu einem festen Kreis orthogonal ist. Diese Kurven nennt Verf. Podariden des Dreiecks. Von ihren vielen interessanten Eigenschaften seien hier folgende genannt: Die drei von den Ecken verschiedenen Schnittpunkte einer Podaride mit den Seiten des Dreiecks liegen in der geraden Linie \(\dfrac xa + \dfrac yb +\dfrac zc =0\), und die Tangenten aus den Ecken des Dreiecks an die Podaride schneiden die Gegenseiten in den Punkten der geraden Linie \(ax + by + cz = 0\). Eine Podaride schneidet den Umkreis außer in den Ecken in drei anderen Punkten, die ein Dreieck \(T\) bilden: die Seiten des Grunddreiecks und des Dreiecks \(T\) umhüllen eine Parabel. Die Kubiken der durch die Gleichung (F) definierten dritten Familie gehen durch die Ecken des Grunddreiecks und durch die Mittelpunkte der vier Berührungskreise des Dreiecks. Jede durch diese sieben Punkte gehende Kubik hat eine Gleichung (F). Jede Kubik dieser Familie kann definiert werden als Ort zweier invers isogonalen Punkte, die auf einer Gerade liegen, die sich um einen festen Punkt dreht.
Verf. untersucht auch für jede der drei Familien von Kubiken die Frage, ob umgekehrt für eine beliebige gegebene Kubik Dreiecke existieren, für die sie eine auto-invers isogonale Kubik einer der drei Familien ist. Zum Schluß betrachtet er die Beziehungen zwischen den ebenen Kurven, die aus einer gegebenen Kurve einerseits durch isogonale Inversion, andrerseits durch die gewöhnliche Inversion (Transformation durch reziproke Radien) hervorgehen, wenn man als Bezugsdreieck der isogonalen Inversion das aus dem Zentrum der Inversion durch reziproke Radien und den beiden Kreispunkten der Ebene gebildete Dreieck annimmt. Die Betrachtung lehrt, daß die auto-invers isogonalen und die anallagmatischen (bei Transformation durch reziproke Radien invarianten) Kurven im allgemeinen verschieden sind. Sie fallen nur dann zusammen, wenn sie eine Gerade durch das Inversionszentrum zur Symmetrieachse haben.
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI Numdam EuDML