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I fondamenti della geometria numerativa. (Italian) JFM 66.1328.02
Mit den Fragen der abzählenden Geometrie hat sich Verf. schon viel beschäftigt; jetzt, im vierzigsten Jahre seiner wissenschaftlichen Tätigkeit, wählt er eben die abzählende Geometrie als Gegenstand der vorliegenden wichtigen Abhandlung, in der die Grundlagen dieses Zweiges der Geometrie vom Standpunkt der höchsten Theorien der algebraischen Geometrie aus neu bearbeitet werden. Die Theorie der Äquivalenzsysteme auf einer algebraischen Mannigfaltigkeit, die Einführung und die systematische Verwendung des Begriffs der virtuellen Mannigfaltigkeiten, die Entwicklung der Basistheorie und der allgemeinen Theorie der algebraischen Korrespondenzen, Theorien, die dem Verf. zu verdanken sind, und denen die klassische abzählende Geometrie viele Anregungen gegeben hat, gestatten in der Tat die abzählenden Fragen der Geometrie von allgemeineren Gesichtspunkten aus zu betrachten und in ihren funktionellen und topologischen Verhältnissen immer mehr zu vertiefen. Man kann jetzt etwas endgültiges über die Grundlagen der abzählenden Methoden aussprechen; andrerseits bekommen jene Methoden, aus den obengenannten neuen Theorien, Einfachheit, Stärke, Klarheit und vollständige Allgemeinheit. Gleichzeitig wird auch der Wert der italienischen algebraischen Geometrie nochmals ins Licht gebracht.
Zum besseren Verständnis der ganzen Abhandlung werden zunächst einige allgemeine Begriffe wiederholt: Die Multiplizität eines Schnittpunktes von zwei Mannigfaltigkeiten \(W_k\), \(V_{r-k}\), die auf einer \(M_r\) liegen; die Begriffe der virtuellen Mannigfaltigkeiten und insbesondere der Nullmannigfaltigkeiten der verschiedenen Dimensionen, die auf \(M_r\) liegen; die Erklärung des Schnittsymbols \((V, W)\) einer \(V_h\) und einer \(W_k\) auf \(M_r\); die Grundbegriffe der Basistheorie.
Der erste Schritt einer organischen Darstellung der abzählenden Geometrie ist die genaue Erklärung einer algebraischen Bedingung, die gewissen gegebenen algebraischen Gebilden auferlegt wird. Diese Gebilde können immer durch die Punkte \(x\) einer algebraischen irreduziblen \(M_r\) eines Raumes \(S_d\) eineindeutig abgebildet werden; die betrachtete Bedingung wird dann durch ein System algebraischer Gleichungen ausgedrückt, die die Koordinaten von \(x\) enthalten, und die auch von einer gewissen Anzahl von Parametern abhängen können; die Parameter erfüllen ihrerseits, im allgemeinen, ein System algebraischer Gleichungen. Alles zusammengefaßt, hat man folgende Gleichungen: \[ f_i(x)=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots);\quad \varphi_j(y;x) = 0\quad (j =1,\,2,\,\ldots);\quad \psi_h(y) = 0\quad (h =1,\,2,\,\ldots); \] von denen die ersten die Mannigfaltigkeit \(M_r\) darstellen; die letzten können als Gleichungen einer gewissen algebraischen Mannigfaltigkeit \(N_s\) angesehen werden, die vom Punkte \(y\) erzeugt wird; die zweiten drücken die Bedingung aus, die vom Punkte \(y\) abhängt. Jede algebraische Bedingung, die den betrachteten Gebilden auferlegt wird, geht auf diese Weise in eine Korrespondenz \(T\) zwischen den Punkten \(x\) von \(M_r\) und den Punkten \(y\) von \(N_s\) über; mit anderen Worten kann sie so ausgesprochen werden, daß \(x\) einem gegebenen \(y\) in der Korrespondenz \(T\) entsprechen muß. Es ist nützlich, nicht aber wesentlich, vorauszusetzen, daß \(M_r\), \(N_s\) frei von mehrfachen Punkten sind. Die Korrespondenz \(T\) kann auch als eine Mannigfaltigkeit auf dem topologischen Produkt \(M \times N\) angesehen werden. Sind \(M_r\) und \(T\) irreduzibel, so sagt man, daß die Bedingung irreduzibel ist. Reduziert sich \(N_s\) auf einen einzigen Punkt \(y\), so spricht man von einer festen Bedingung, sonst ist die Bedingung veränderlich. Wenn die Punkte \(x\), die einem allgemeinen \(y\) entsprechen, eine \(V_{r-k}\) erfüllen, so sagt man, daß die Bedingung die Dimension \(k\) hat. Die Dimension von \(T\) ist \(r + s - k\). Die obige \(V_{r-k}\) kann in Teile der gleichen Dimension zerfallen, auch bei einer irreduziblen \(T\) und bei einem allgemeinen \(y\); für besondere \(y\) kann \(V_{r-k}\) in Teile zerfallen, die eine Dimension \(>r - k\) haben. Wird \(T\) auf \(M \times N\) betrachtet, so sieht man wie, allgemeiner, auch virtuelle reine Bedingungen eingeführt werden können; in diesem Falle ist \(T\) eine algebraische Summe von Teilen derselben Dimension.
Aus diesen allgemeinen Begriffen folgen ohne weiteres die Prinzipien der Konstantenabzählung und der Erhaltung der Anzahl. Das erste besagt, daß folgende drei Bedingungen dieselbe Dimension haben: \(x\) muß einem gegebenen \(y\) in \(T\) entsprechen (gegebene Bedingung); \(y\) muß einem gegebenen \(x\) in \(T\) entsprechen (konjugierte Bedingung); das Paar \((x, y)\) muß auf \(T\) liegen (erweiterte Bedingung). Diese allgemeine Art zu reden ist den üblichen Redeweisen äquivalent. Das zweite besagt: Eine kontinuierlich veränderliche, effektive oder virtuelle, reine Bedingung bleibt mit sich selbst algebraisch (und arithmetisch) äquivalent, bis sie vollständig oder teilweise unbestimmt wird; wenn aber, im zweiten Falle, die Annäherung von \(y\) an die besondere Lage \(y_0\), wo die Bedingung als unbestimmt erscheint, auf einem analytischen Zweig mit dem Ursprung \(y_0\) erfolgt, so ist die Grenzlage der betrachteten Bedingung der allgemeinen Lage wieder algebraisch (und arithmetisch) äquivalent. Daraus schließt man sofort die übliche Aussage des Schubertschen Prinzips.
Die Begründung des abzählenden Kalküls bietet jetzt keine Schwierigkeiten mehr. Zwei Bedingungen \(c\), \(c'\) der Dimension \(k\) sind gleich, wenn die \(V_{r-k}\), \(V^\prime_{r-k}\), die bei \(c\) und \(c'\) einem allgemeinen \(y\) entsprechen, arithmetisch äquivalent sind. Die Summe \(c + c'\) bedeutet, daß \(x\) auf \(V + V'\) oder auf einer der \(V + V'\) arithmetisch äquivalenten Mannigfaltigkeit liegen muß. Das Produkt \(cc'\) von zwei reinen Bedingungen der Dimensionen \(k\), \(k'\) bedeutet, daß sie gleichzeitig erfüllt sein müssen; wird der Schnitt \((V, V')\) im virtuellen Sinne betrachtet, so ist immer das Produkt \(cc'\) eine reine Bedingung der Dimension \(k + k'\).
Die Frage der charakteristischen Bedingungen für die reinen Bedingungen einer gegebenen Dimension \(k\) deckt sich mit der Konstruktion der Basis aller reinen \(V_{r-k}\), die auf \(M_r\) liegen; und diese ist ihrerseits mit der Aufsuchung eines Bezoutschen Satzes auf \(M_r\) oder eines allgemeinen Korrespondenzprinzips auf \(M_r\) gleichbedeutend. Der Existenzsatz der Charakteristiken wird so mit Hilfe der Basistheorie begründet.
Als Beispiel und Anwendung wird die Bestimmung der Charakteristiken für die algebraischen reinen Bedingungen ausgewählt, die den Unterräumen \(S_k\) eines Raumes \(S_r\) auferlegt werden können.
Sehr wichtig und viel schwieriger ist das Charakteristikenproblem, wenn auf \(M_r\) eine vollständige Ausartungsmannigfaltigkeit \(E\) gegeben ist; d. h. wenn die Punkte von \(E\) als Bilder ausgearteter Lösungen erscheinen und daher auszuschließen sind; nur die Punkte von \(M_r - E\) sind jetzt als Lösungen zu betrachten. Es ist wohl möglich, daß auf \(E\) eine ähnliche vollständige Ausartungsmannigfaltigkeit höherer Ordnung \(G\) existiert, auf \(G\) eine andere \(H\); usw.
Hier bietet sich zunächst das Prinzip von Plücker und Clebsch in folgender sehr allgemeinen Form: Wenn auf \(M_r\) das Produkt gewisser gegebenen Bedingungen die Dimension \(r\) hat und zu lauter ausgearteten Lösungen im allgemeinen führt, und wenn in einem besonderen Falle eine nicht ausgeartete Lösung entsteht, so kann diese nicht isoliert sein.
Die Lösung des Charakteristikenproblems in diesem allgemeineren Falle verlangt eine Verfeinerung und Vervollständigung der Basistheorie. Die \(V_{r-k}\) von \(M_r\), die den verschiedenen Punkten \(y\) entsprechen, können sich jetzt, in der Tat, in bezug auf die Ausartungsmannigfaltigkeiten besonders verhalten; z. B. können sie mit \(E\) eine Mannigfaltigkeit gemein haben, die eine höhere Dimension hat, als es regelmäßig wäre. Es handelt sich darum, die Existenz der Basis festzustellen für alle \(V_{r-k}\), die sich in bezug auf die Ausartungsmannigfaltigkeiten in einer gegebenen besonderen Art verhalten. Man gelangt so zum allgemeinen Existenzsatz der Charakteristiken auf \(M_r - E\). Es ergibt sich, daß das Charakteristikenproblem relativ ist; es hängt von den Ausartungsmannigfaltigkeiten und vom Verhalten aller \(V_{r-k}\) in bezug auf sie ab; so könnte man auch die Anzahl der Charakteristiken beliebig wachsen lassen, indem man jenem Verhalten immer speziellere Formen erteilt.
Die so ausgebaute allgemeine Theorie wird schließlich auf das Charakteristikenproblem für die Kegelschnitte einer Ebene angewendet. Man kann zunächst jene Kegelschnitte nur als Örter von Punkten betrachten (oder dual). Als \(M_r\) kann man dann einen Raum \(S_5\) wählen; im \(S_5\) gibt es eine Ausartungs-\(E_4^3\), deren Punkte die Geradenpaare darstellen; auf \(E\) gibt es noch eine Veronesesche Fläche \(G\), deren Punkte die Doppelgeraden darstellen. Die Basis der virtuellen reinen \(V_4\) im \(S_5\) ist eine Hyperebene; die einfachen virtuellen reinen Bedingungen haben so eine einzige Charakteristik, z. B. die Bedingung \(\mu\) dafür, daß ein Kegelschnitt durch einen gegebenen Punkt hindurchgeht. Die Basis aber aller durch \(G\) hindurchgehenden virtuellen reinen \(V_4\) besteht aus einer Hyperebene und einer Quadrik durch \(G\); wenn man also unter den einfachen Bedingungen auch diejenigen betrachten will, die von allen Doppelgeraden erfüllt werden, so muß man außer \(\mu\) noch eine zweite Charakteristik einführen, z. B. die Bedingung \(\nu\) dafür, daß ein Kegelschnitt eine gegebene Gerade berührt. Ähnlich findet man die Charakteristiken der vierfachen Bedingungen.
Man könnte sich auch auf einen anderen Standpunkt stellen. Man kann nämlich die sogenannten vollständigen Kegelschnitte betrachten, die gleichzeitig Örter von Punkten und Enveloppen von Geraden sind; sie werden im \(S_5\) von den Punkt-Hyperebene-Paaren dargestellt, die in bezug auf \(E_4^3\) polar sind. Es gibt dann, wie bekannt, drei verschiedene Ausartungen: a) ausgeartete Kegelschnitte 1. Art; sie bestehen aus zwei Geraden und dem Doppelbüschel, das die beiden Geraden enthält; sie werden im \(S_5\) von den einfachen Punkten von \(E\) und den betreffenden Berührungshyperebenen dargestellt; b) ausgeartete Kegelschnitte 2. Art; sie bestehen aus zwei Strahlbüscheln und der Doppelgerade, die beiden Büscheln angehört; sie werden von den Punkten von \(G\) mit den betreffenden Berührungshyperebenen von \(G\) selbst dargestellt; c) ausgeartete Kegelschnitte 3. Art; sie bestehen aus einem Doppelpunkt und einer Doppelgerade in vereinigter Lage und werden von den Punkten von \(G\) mit den betreffenden singulären Berührungshyperebenen von \(G\) selbst dargestellt. Als Grund-\(M_5\) kann man jetzt auch eine \(M_5\) wählen, die auf der Segreschen \(U_{10}^{252}\) eines Raumes \(S_{35}\) liegt, die die Punkt-Hyperebene-Paare des Raumes \(S_5\) darstellt; die Ausartungsmannigfaltigkeiten sind drei: \(E'\), \(F'\), \(H'\). An den Charakteristiken der einfachen und der vierfachen Bedingungen, die sich in bezug auf \(E'\), \(F'\), \(H'\) allgemein verhalten, gibt es nichts zu ändern; will man aber auch jene einfachen reinen Bedingungen betrachten, die von allen ausgearteten Kegelschnitten 3. Art erfüllt werden, so muß man den vorigen Charakteristiken \(\mu\), \(\nu\) noch eine dritte hinzufügen, z. B. die Bedingung \(\delta\) dafür, daß ein Kegelschnitt ausgeartet 1. Art sei. Im Gebiete der vierfachen Bedingungen muß man als dritte Charakteristik die Bedingung dafür betrachten, daß ein irreduzibler Kegelschnitt einem Büschel mit vier zusammenfallenden Basispunkten angehöre. Es empfiehlt sich, deutlich hervorzuheben, daß diese Ergänzungen notwendig sind, wenn man den symbolischen Kalkül auch in denjenigen Fällen anwenden will, wo vierpunktige Berührungsbedingungen gegeben sind.
Ähnliche Betrachtungen gelten für die Bedingungen der Dimensionen 2 und 3.
Die obengenannte Mannigfaltigkeit \(H'\) ist nichts anderes als diejenige der \(\infty^3\) Elemente 1. Ordnung einer Ebene. Verf. ergreift die Gelegenheit, sie zu studieren; er findet die Basis der Flächen und der Kurven, die auf \(H'\) liegen; er findet auch das normale singularitätenfreie Bild niedrigster Ordnung von \(H'\): es ist die Schnitt-\(V_3^6\) mit einer allgemeinen Hyperebene, der Segreschen \(W^6_4\), die die Punkt-Gerade-Paare einer Ebene darstellt.
Die Abhandlung ist reich an geschichtlichen Bemerkungen und Literaturangaben.

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References:
[1] La trattazione qui esposta ha fornito materia ad una parte del mio corso di Alta Geometria (1939–40) presso il Reale Istituto Nazionale di Alta Matematica.
[2] Severi,Sul principio della conservazione del numero (“ Rend. del Circ. Mat. di Palermo ”, 33 (1912), pp. 313–327); · JFM 43.0639.01 · doi:10.1007/BF03015309
[3] Sui fondamenti della geometria numerativa e sulla teoria delle caratteristiche (“ Atti del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti ”, 75 (1916), pp. 1122–1162);
[4] Ueber die Grundlagen der algebraischen Geometrie (“ Abhandlungen aus dem Math. Seminar der Hamburgischen Universität ”, 9 (1933), pp. 335–364). · Zbl 0007.07501 · doi:10.1007/BF02940659
[5] Nella citata Memoria di Amburgo questa dimostrazione fu ripetuta alla luce delle accennate precisazioni, le quali erano il sottinteso elementare ed ovvio d’ogni deduzione, per chiunque conoscesse a fondo la nostra geometria: sottinteso che, ad ogni modo, sarebbe stato posto in evidenza quando avessimo avuto occasione di esporre trattatisticamente la materia. Non mi sembra perciò giusto che non si ricordi adeguatamente l’opera degli italiani, che più hanno contribuito ai moderni progressi della geometria algebrica, allorchè di questa si espongono metodicamente i concetti e le teorie fondamentali, come ha fatto il prof.Van Der Waerden nel suo bel trattato:Einführung in die algebraische Geometrie (Berlin, Springer 1939), che d’altronde si ravvicina di più ai metodi della scuola italiana, che non a quelli della “ Moderne Algebra ”.
[6] “ Math. Annalen ”, Bd. 115 (1938), pp. 645–655. Ivi la mia Memoria del 1916 non è citata. L’A. dimostra anche la formula diCremona per le condizioni doppie (che noi ritroveremo a nostra volta), ma la considera dal punto di vista ristretto cui sotto si accenna.
[7] Ved. la mia Memoria c) citata. Ved. pure le mie Lezioni sulleSerie, sistemi d’equivalenza e corrispondenze algebriche sulle varietà algebriche (raccolte daF. Conforto edE. Martinelli; “ Pubblicazioni dell’Istituto Mat. della R. Università di Roma ”, 1938 e segg.), p. 8.
[8] Le quali varietà tengon luogo, in un certo senso, di un gruppo di un numero finito d’intersezioni isolate:Ueber die Grundlagen der Algebraischen Geometrie, (citata), p. 352, Bemerkung I.
[9] Ved. le mie Lezioni citate, p. 9 e segg.
[10] Ved. le mie citate Lezioni, p. 13.
[11] Severi,Sulla totalità delle curve algebriche tracciate sopra una superficie algebrica (“ Math. Annalen ”, 62 (1906), pp. 194–225);La base minima pour la totalité, ecc. (“ Ann. de l’École normale supérieure de Paris ”, (3), 25 (1908), pp. 449–468);Complementi alla teoria della base per la totálità delle curve di una superficie algebrica (Rend. del Circolo Matematico di Palermo ”, 30 (1910), pp. 265–288);La base per le varietà algebriche di dimensione qualunque contenute in una data, ecc. (“ Memorie della R. Accademia d’Italia ”, 1934-XII). · JFM 37.0647.02 · doi:10.1007/BF01449978
[12] Ved. le mie Lezioni citate, p. 94.
[13] Nel n. 4 della Notaa) citata in (2), p. 1 avevo stabilito la stessa conclusione in modo in apparenza diverso.
[14] Ved. le mie citate Lezioni, p. 97.
[15] Lezioni citate, pp. 95 e 98.
[16] Lezioni citate, p. 99.
[17] Pag. 98. · JFM 23.0924.01
[18] Lez. citate, p. 101.
[19] Citato a p. 1, nota (2) a pie’ di pagina.
[20] Ved.Severi,Lezioni di Analisi, I. (Bologna, Zanichelli), p. 330 e pag. 403.
[21] Del quale ho dato la prima rigorosa dimostrazione nella Nota:Sulla compatibilità dei sistemi di equazioni algebriche ed analitiche (“ Rend. della R. Acc. Naz. dei Lincei ”, (6), 17 (1933), pp. 3–10). Ved. pure le mie citateLezioni di Analisi (II ed.), vol. I, p. 409. Un’estensione del criterio stesso, da cni appunto dedurremo ora quella di maggior generalità, trovasi nella mia Nota:Un’ampia estensione del criterio di Plücker-Clebsch (“ Bollettino dell’Unione Matematica Italiana ”, (2), 1 (1939), pp. 97–99).
[22] Argomentazione elementare per chi abbia pratica di geometria algebrica; ma che tuttavia trovasi dimostrata a p. 349 della mia Memoriac).
[23] Ved. a pag. 98 della mia Nota ultimamente citata del “ Bollettino dell’U.M.I. ”, 1939.
[24] Severi,Sopra alcune singolarità delle curve di un iperspazio (“ Memorie della R. Acc. di Torino ”, (2), 51 (1902), pp. 81–114).
[25] Rinvio per quest’ultima teoria alla mia conferenza:La teoria generale delle corrispondenze fra due varietà algebriche e i sistemi di equivalenza (“ Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hansischen Universität ”, 1939), ove son riassunti i miei precedenti lavori sull’argomento. Occorre in particolare tener conto del risultato al n. 10 della mia Nota:La teoria generale delle corrispondenze tra varietà algebriche (“ Rend. della R. Acc. Naz. dei Lincei ”, (6), 23 (1936-XIV), pp. 818–823, 921–925) e di quello al n. 7 dell’altra mia:Complementi alla teoria generale delle corrispondenze tra varietà algebriche “ (Rend. della R. Acc. Naz. dei Lincei ”, (6), 25 (1937-XV), pp. 3–9).
[26] Invero, nella mia Memoria,La base per le varietà algebriche, ecc. (citata a p. 162), ho dimostrato che in ogni famiglia di varietà di data dimensionek inS r, vi sono forme limiti composte esclusivamente da spazi linearS k.
[27] Ved. in particolare:Severi,La teoria generale delle corrispondenze tra varietà algebriche (“ Atti della R. Acc. Naz. dei Lincei ”, (6), 23 (1936-XIV), pp. 818–823; 921–925). · JFM 62.0745.10
[28] Severi,Le coincidenze d’una serie algebrica (k+i)(r) di coppie di spazi a k dimensioni immersi nello spazio a r dimensioni (“ Rend. della R. Acc. dei Lincei ”, (5), 9 (1900), pp. 321–326). · JFM 31.0553.02
[29] Ved. p. es.Bertini,Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspazi, II ed., Principato, Messina, 1923, p. 48. · JFM 49.0484.08
[30] Notaa) citata a p. 1.
[31] Problema cheSchubert aveva già sciolto nel 1886 con la conservazione del numero, ma senza le precisazioni e gli accertamenti che potevano render rigorosa la sua soluzione
[32] Severi,Sulla varietà che rappresenta gli spazi subordinati di data dimensione, immersi in uno spazio lineare (“ Annali di Matematica ”, (3), 24 (1915), pp, 89–120). · JFM 45.0915.03 · doi:10.1007/BF02419673
[33] Cfr. con la nota a piè della p. 188.
[34] Invero, lapostulazione d’una varietà rispetto alle forme d’un ambiente lineare che la contenga, dipende soltanto dai caratteri numerativi della varietà (ved.Severi, Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche “ Rend. del Circolo Mat. di Palermc ”, 28 (1909), pp. 33–87). · JFM 40.0711.03 · doi:10.1007/BF03018210
[35] Anzi una varietàlineare, perchè è in corrispondenza biunivoca senza eccezioni coi punti di unS r-h-i situato genericamente nelloS r tangente inx adM r. Vedi le mie Lezioni sulle serie d’equivalenza citate a p. 157 (p. 21).
[36] Ved. la mia Memoriab) del 1916 citata in (2) a piè della p. 153. Ivi trovansi le citazioni sullo stato della questione in quel momento. Si deve tener conto in modo particolare, per ciò che concerne la rappresentazione delle coniche coi punti di unS 5, del Cap. XVI (pag. 406) del trattato diBertini,Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspazi (Messina, Principato, 1923). Le considerazioni sotto riassunte,per le condizioni semplici, furono, quasi tutte, da me svolte nella Memoria del 1916, salvo qualche maggior determinazione, che ora s’introduce, coll’ulteriore essenziale complemento relativo a condizioni soddisfatte da tutte le coniche degeneri di 3a specie.
[37] La dimostrazione che laM 5 costruita nel modo indicato è priva di punti multipli, trovasi nella Memoria diVan Der Waerden (“ Math. Ann. ”, 1938), citata in (1) a p. 156. Accenneremo nel n. 50 al modo di pervenire a questa conclusione.
[38] Estensione ovvia alle varietà di uno de’ miei criteri d’equivalenza. Ved. p. es. le mie Lezioni sulle serie e i sistemi d’equivalenza citate a pag. 157; pp. 190 e segg.
[39] Ved. a proposito dei modelli minimi le mie citate Lezioni, p. 20.
[40] La parte variabile dellaV k, che descrive un sistema lineare diV k entro unaV k può spezzarsi soltanto se leV k son composte con le varietàW k di un fascio. Conseguenza immediata questa p. es. del teorema concernente i punti multipli che laV k mobile possegga fuori di varietà base del sistema. Ved.Bertini,Geom. proiettiva degli iperspazi (citata) p. 285.
[41] Applicando proposizioni generali di geometria sulle varietà (vedSeveri,Fondameuti per la geometria sulle varietà algebriche “ Rend. del Circolo Matematico di Palermo ”, 28 (1909), pp. 33–87) se ne trarrebbe subito che la serie lineare caratteristica di |F| è completa a quindi che |F| ha la dimensione 7; ma non val la pena di ricorrere a tanto per una questione cosi elementare e alla quale si risponde agevolmente in modo diretto, come ora vedremo. · JFM 40.0711.03 · doi:10.1007/BF03018210
[42] La base minima delleV 3 diE fu determinata altrimenti daBordiga (“ Annali di Matematica ”, (3), 27 (1918), pp. 1–40), il quale giunse appunto alla conclusione che ogniV 3 diE è multipla diA. · JFM 46.1022.01
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