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Éléments de mathématique. Première partie. Les structures fondamentales de l’analyse III: Topologie générale. I. Structures topologiques. II. Structures uniformes. (French) JFM 66.1357.01
Actual. sci. industr. 858, 129 p (1940).
Das vorliegende Heft enthält die beiden ersten von acht Kapiteln der “Allgemeinen Topologie”.
Kapitel 1. Untersuchung der topologischen Räume im Sinne von Alexandroff und Hopf (Topologie (Berlin 1935; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 602), S. 37, 43-44), die hier definiert sind ausgehend von den Begriffen der offenen Menge, der Hausdorffschen Räume (espaces séparés) und der regulären Räume. Verf. entwickeln die Eigenschaften dieser Räume unter systematischer Benutzung der Begriffe des Filters, der Filterbasis und des Limes nach einem Filter, die von H. Cartan (C. R. Acad. Sci., Paris, 205 (1937), 595-598, 777-779; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 569) eingeführt worden sind. Dadurch lassen sich unter anderem viele bekannte Ergebnisse in neuer und anschaulicher Sprache ausdrücken. Von den behandelten Fragen und den bedeutendsten Sätzen seien genannt: S. 38 der Satz von der Existenz und Eindeutigkeit der stetigen Fortsetzung einer Funktion auf einen beliebigen topologischen Raum \(E\), wenn die Funktion eindeutig definiert ist auf einem überall dichten Teil von \(E\), ihre Werte in einem regulären Raum annimmt und einer geeigneten Bedingung genügt; S. 49 der Satz über den doppelten Limes einer eindeutigen Funktion auf einer Produktmenge zweier Mengen, deren Werte in einem regulären Raum liegen. Ferner: Eine ins einzelne gehende Untersuchung des Produktraumes einer beliebigen Familie topologischer Räume. Betrachtung des topologischen Quotientenraumes eines topologischen Raumes auf Grund einer Äquivalenzbeziehung; kompakte und lokal kompakte Räume; zusammenhängende und lokal zusammenhängende Räume.
Dem Kap. 1 ist eine historische Note angefügt, in der Verf. vor allem auf die Bedeutung von Riemann für die Entstehung der topologischen Theorien hinweisen. Es wäre zu wünschen, daß die vorwiegende Rolle von M. Fréchet wegen der so wichtigen Begriffsbildung der kompakten Menge stärker ins Licht gerückt würde (vgl. M. Fréchet, Les espaces abstraits \(\ldots\) (1928; F. d. M. 54, 614 (JFM 54.0614.*)), S. 68-70, 190-193, 275-276), und daß an die Tatsache erinnert würde, daß Fréchet, ausgehend von Arbeiten von F. Riesz und Hedrick, unabhängig von den Hausdorffschen Arbeiten, die er wegen des Krieges nicht erhalten konnte, 1918 die Axiomatik der accessiblen Räume entwickelt hat. Diese Axiomatik benutzt keinen Begriff des Limes abzählbarer Folgen und ist ebenso nützlich und einfach wie die des Hausdorffschen Raumes (vgl. Fréchet, a. a. O. S. 185).
Kapitel 2. Teilweise neue, teilweise ein wenig veränderte Darstellung der Theorie der uniformen Räume von A. Weil (Actual. sci. industr. 551 (1937); F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 569). Auch hier werden die Filter benutzt. In der Definition der vollständigen uniformen Räume (S. 99) ersetzen Verf. durch die Filter, die (von A. Weil benutzten) Mengen \(G\) von Mengen folgender Eigenschaft: Keiner der endlichen Durchschnitte von Mengen von \(G\) ist leer. Übrigens lassen sich die Filter leicht aus den Mengen \(G\) herleiten (vgl. S. 22). – Es folgt eine historische Note.