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On the topological structure of solvable groups. (English) JFM 67.0077.02
É. Cartan (Actual. sci. industr. 358 (1936); F. d. M. 62\(_{\text{I}}\), 441) bewies, daß eine einfach zusammenhängende auflösbare Liesche Gruppe homöomorph einem Cartesischen Raum ist. In der vorliegenden Arbeit wird die Struktur einer beliebigen zusammenhängenden auflösbaren Gruppe \(G\) untersucht. Es wird gezeigt, daß \(G\) eine kompakte abelsche Untergruppe \(T\) besitzt und eine Teilmenge \(E\), die zu einem Cartesischen Raum homöomorph ist, enthält, so daß jedes Element \(\sigma\) von \(G\) eineindeutig die Gestalt \(\sigma=\tau \eta\) hat, \(\tau \in T\), \(\sigma \in E\). Die Zuordnung \((\tau, \,\eta) \to \tau \eta\) ist eine Homöomorphie von \(T \times E\) mit \(G\). Jede zusammenhängende auflösbare Liesche Gruppe ist also homöomorph dem topologischen Produkt eines Torusraumes und eines Cartesischen Raumes.
Da \(G\) als die Faktorgruppe \(G*/D\) einer einfach zusammenhängenden Gruppe \(G*\) nach einer diskreten Untergruppe \(D\) des Zentrums von \(G*\) dargestellt werden kann, beruht der Beweis auf einer Untersuchung der Untergruppen \(D\) einer solchen Gruppe \(G*\). Es wird folgendes gezeigt: Es sei \(L\) die Liealgebra zu \(G*\). Ist \(D\) eine diskrete Untergruppe des Zentrums von \(G*\), so ist \(D\) eine freie abelsche Gruppe von einem Rang \(r \leqq n\), \(n\) die Dimension von \(G*\). Man kann eine Basis \(l_1, \ldots \!, l_n\) von \(L\) so wählen, daß jedes Element von \(G*\) auf eine und nur eine Weise in der Form (exp \(t_1l_1\)) (exp \(t_2l_2\))...(exp \(t_nl_n\)), \(t_i\) reell, geschrieben werden kann, daß die Elemente exp \(l_{i_1}\), exp \(l_{i_2},\ldots\), exp \(l_{i_r}\) eine Basis von \(D\) bilden, und daß \([l_{i_{\alpha}}, \,l_{i_{\beta}}]=0\) ist für \(1 \leqq \alpha, \,\beta \leqq r\). Zum Beweis dieses Satzes wird eine genaue Strukturuntersuchung der Gruppen \(G*\) folgenden Typus benötigt: Die Liealgebra \(L\) von \(G*\) besitze ein abelsches Ideal \(A\) der Dimension \(n-1\), wenn \(n\) die Dimension von \(G*\) ist. Es gebe ferner im Zentrum von \(G\) ein Element \(\sigma\), das nicht zu der zu \(A\) gehörigen zusammenhängenden Untergruppe von \(G*\) gehört.

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