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Spiegelungsgruppen und Aufzählung halbeinfacher Liescher Ringe. (German) JFM 67.0077.03
Die Bestimmung aller halbeinfachen Lieschen Ringe wird zurückgeführt auf die Aufstellung aller Spiegelungsgruppen. Diese Gruppen werden vollständig aufgezählt; vgl. hierzu H. S. M. Coxeter, J. London math. Soc. 10 (1935), 21-25 (F. d. M. 61\(_{\text{I}}\), 97).
\(\mathfrak{B}\) sei ein \(q\)-dimensionaler, von den \((q-1)\)-dimensionalen ebenen Wänden \(\mathfrak{W}_1, \ldots \!, \mathfrak{W}_n\) begrenzter konvexer Bereich des \(q\)-dimensionalen reellen euklidischen Raumes. Der Innenwinkel zwischen je zwei Wänden \(\mathfrak{W}_i\) und \(\mathfrak{W}_k\) sei 0 oder habe die Form \(\dfrac{\pi}{m_{ik}}\) mit einer ganzen Zahl \(m_{ik}\). Es werde noch \(m_{ii} = 1\) gesetzt und \(m_{ik}=\infty\), falls der Winkel 0 ist. Dem Bereich \(\mathfrak{B}\) wird die definite quadratische Form \[ f=-\sum \xi_i \xi_k \cos \, \frac{\pi}{m_{ik}} \] zugeordnet. Umgekehrt entspricht jeder solchen Form bis auf Ähnlichkeitstransformationen genau ein Bereich \(\mathfrak{B}\). Die durch die Spiegelungen an den Wänden \(\mathfrak{W}_1, \ldots \!, \mathfrak{W}_n\) erzeugte Gruppe \(\mathfrak{G}\) ist isomorph der abstrakten Gruppe \(\varGamma\) mit den Erzeugenden \(\sigma_1, \ldots \!, \sigma_n\) und den definierenden Relationen \((\sigma_i \sigma_k)^{m_{ik}}=1\), \((i, \,k=1,\ldots \!,n)\). \(\mathfrak{B}\) ist ein Fundamentalbereich von \(\mathfrak{G}\). Die Gruppe \(\mathfrak{G}\) ist endlich oder unendlich, je nachdem die Form \(f\) positiv- oder null-definit ist.
Weiterhin werden beliebige Formen \(f\) (jedoch mit \(m_{ii} = 1\)) und die zugehörigen Gruppen \(\varGamma\) betrachtet. Es wird gezeigt, daß \(\varGamma\) dann und nur dann endlich ist, wenn \(f\) positiv-definit ist. Nach Coxeter wird jeder Gruppe \(\varGamma\) in folgender Weise eine Figur zugeordnet: Jeder Erzeugenden \(\sigma_i\) entspricht ein Punkt \(p_i\); der Punkt \(p_i\) wird mit dem Punkt \(p_k\) durch \(m_{ik} - 2\) Striche verbunden. Mittels dieser Figuren gelangt man zu einer vollständigen Übersicht über alle Spiegelungsgruppen.
Unter einem Vektordiagramm verstehe man ein System von endlich vielen Vektoren mit folgenden Eigenschaften: Mit \(\mathfrak{a}\) kommt auch -\(\mathfrak{a}\) vor, dagegen kein anderes Vielfaches von \(\mathfrak{a}\). Eine Spiegelung an der zu \(\mathfrak{a}\) senkrechten Ebene durch den Nullpunkt führt das Vektorsystem in sich über. Mit Hilfe der oben erwähnten Figuren gelingt es, alle Vektordiagramme aufzustellen. Mittels der Vektordiagramme werden die Ordnungen aller endlichen Spiegelungsgruppen bestimmt.
Jedem halbeinfachen Lieschen Ring läßt sich ein Vektordiagramm zuordnen, welches noch gewissen Ganzzahligkeitsbedingungen genügt. Auch alle derartigen Vektordiagramme werden angegeben. Bekannt war schon, daß umgekehrt zu jedem Diagramm höchstens ein Liescher Ring existiert. Hier wird weiter gezeigt, daß es zu jedem Diagramm auch tatsächlich einen Ring gibt, sobald die Existenz der Ringe für alle Diagramme der Dimensionen \(n \leqq 4\) schon feststeht. Für diese letzten Diagramme werden die zugehörigen Ringe direkt angegeben.

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References:
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