Über Ketten von Faktoroiden. (German) JFM 67.0080.01

Borůvka, O.

Math. Ann., Berlin, 118, 41-64 (1941).

Verf. gibt eine Verallgemeinerung des Schreierschen Verfeinerungssatzes auf Gruppoide \(\mathfrak{G}\), d. h. auf Mengen mit eindeutiger, ausführbarer Verknüpfung. \(\equiv (\mathfrak{F})\) sei eine Äquivalenzrelation in \(\mathfrak{G}\), die “aus \(a \equiv a'(\mathfrak{F})\) und \(b \equiv b'(\mathfrak{F})\) folgt \(ab \equiv a'b'(\mathfrak{F})\)” erfüllt. Die Äquivalenzklassen bilden dann ein Gruppoid, das Faktoroid \(\mathfrak{F}\) von \(\mathfrak{G}\). Setzt man \(\mathfrak{F}_1 \geqq \mathfrak{F}_2\), wenn \(a \equiv b(\mathfrak{F}_1)\) aus \(a \equiv b(\mathfrak{F}_2)\) folgt, so bilden die Faktoroide ersichtlich einen vollständigen Verband. – Eine Kette von Faktoroiden ist eine Kette \(\mathfrak{A}_0, \mathfrak{A}_1, \ldots \!, \mathfrak{A}_{\alpha-1}\), in der \(\mathfrak{A}_0\) ein Faktoroid von \(\mathfrak{G}\) und \(\mathfrak{A}_i\) ein Faktoroid eines Elementes von \(\mathfrak{A}_{i-1}\) ist \((1 \leqq i \leqq \alpha-1)\). Zwei Ketten heißen isomorph, wenn die Glieder einander bis auf die Reihenfolge isomorph sind. Verf. beweist aus Sätzen über beliebige Äquivalenzrelationen, daß unter einer nicht näher erläuterten “Adjungiertheitsbedingung” gleichendige Ketten stets isomorphe Verfeinerungen haben.

Reviewer: Lorenzen, P., Dr. (Bonn)

JFM Section:

Erster Halbband. C. Arithmetik und Algebra. 4. Gruppentheorie. f) Verallgemeinerungen.

References:

[1]

Der Name ?Gruppoid? f?r diesen Begriff findet sich in der ArbeitB. A. Hausmann and Oystein Ore: Theory of quasigroups (Amer. J. Math., Vol. LIX, 1937). Im engeren Sinne kommt er vor beiGarrett Birkhoff: Rings of sets (Duke Math. J., Vol. 3, 1937, p. 444). Siehe auchH. Brandt: ?ber eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes (Math. Annalen, Bd. 96, 1927).