×

zbMATH — the first resource for mathematics

Contribution à la théorie des demi-groupes. (French) JFM 67.0080.02
Mém. Acad. Sci. Inst. France (2) 63, 52 S. (1941).
Eine Menge, in der für je zwei Elemente ein Produkt erklärt ist, heißt Gruppoid; ist die Multiplikation assoziativ, so spricht man von einer Halbgruppe. Verf. stellt sich das Problem, der Nebenklassenbildung nach einer Untergruppe entsprechende Äquivalenzbeziehungen in Halbgruppen aufzustellen und zu untersuchen. Eine Äquivalenzbeziehung \(\mathfrak{R}\) wird als Kongruenz \(a \equiv b(\mathfrak{R})\) geschrieben. \(\mathfrak{R}\) heißt rechtsregulär, wenn aus \(a \equiv b(\mathfrak{R})\) stets \(ax \equiv bx(\mathfrak{R})\) für jedes \(x\) der Halbgruppe \(D\) folgt. \(\mathfrak{R}\) heißt rechtskürzbar, wenn aus \(ax \equiv bx(\mathfrak{R})\) stets \(a \equiv b(\mathfrak{R})\) folgt.
Kapitel I beschäftigt sich mit den Hauptäquivalenzen. Sie sind so definiert: \(H\) sei eine Teilmenge \(\neq 0\) der Halbgruppe \(D\), ein “Komplex”. Mit \((H : a)_r=Q_a\) werde die Menge aller \(x\) aus \(D\) mit \(ax \in H\) bezeichnet. Entsprechend ist \((H : a)_l={}_aQ\) die Menge aller \(y\) mit \(ya \in H\). Die Rechtshauptäquivalenz \(\mathfrak{R}_H\) wird nun durch die Aussage: \(a \equiv a'(\mathfrak{R}_H)\) dann und nur dann, wenn \(Q_a=Q_{a'}\), erklärt. Das Rechtsresiduum \(W_H\) ist die Menge aller \(w\) aus \(D\) mit leerem \(Q_w\). Ein \(H\) mit \(W_H = 0\) heißt von rechts rein. Ein Komplex \(H\) heißt rechtsstark, wenn aus \(Q_q \cap Q_b \neq 0\) stets \(Q_a = Q_b\) folgt. Er ist stets auch linksstark. Ist \(H\) stark und rechtsrein, so ist die Äquivalenz \(\mathfrak{R}_H\) rechtsregulär und rechtskürzbar. Ist \(H\) stark, ist \(W_H\) prim, d. h. liegt mit \(ab\) wenigstens einer der Faktoren in \(W_H\), so ist die auf \(D^* = D - W_H\) eingeschränkte Äquivalenz \(\mathfrak{R}_H^*\) rechtskürzbar. Ferner ist jede von \(W_H\) verschiedene Äquivalenzklasse \(X\) nach \(\mathfrak{R}_H\) gleich einem \({}_aQ\). Ist \(D\) von rechts streng, d. h. ist jedes starke \(H\) rechtsrein, so ist außerdem \(\mathfrak{R}_X=\mathfrak{R}_H\). Ist der starke Komplex \(H\) ein Teilgruppoid \(S\) von \(D\), so liegt \(S\) in einer Äquivalenzklasse \(U_S\) nach \(\mathfrak{R}_S\). \(U_S\) ist selbst ein Teilgruppoid und außerdem rechtsunitär, d. h. aus \(u \in U_S\), \(xu \in U_S\) folgt \(x \in U_S\). \(U_S\) heißt die rechtsunitäre Hülle von \(S\). Es ist \(\mathfrak{R}_S = \mathfrak{R}_{U_S}\). Ist \(S\) selbst rechtsunitär, so ist \(S = U_S\). Weitere Sätze über die unitären Hüllen und die Residuen von Teilgruppoiden.
Ist umgekehrt \(\mathfrak{R}\) eine rechtsreguläre Äquivalenz, \(H\) eine Klasse nach \(\mathfrak{R}\), so ist \(\mathfrak{R} \subset \mathfrak{R}_H\). Ist \(\mathfrak{R}\) rechtsregulär und rechtskürzbar in einer rechtsstrengen Halbgruppe, so ist jede Klasse \(H\) nach \(\mathfrak{R}\) ein starker Komplex, und es ist \(\mathfrak{R} = \mathfrak{R}_H\).
In einer gewöhnlichen Gruppe \(G\) ist ein Komplex \(H\) dann und nur dann stark, wenn mit \(h_1\), \(h_2\), \(h_3\), stets \(h_1h_2^{-1}h_3\) in \(H\) liegt. Ist \(H\) eine Untergruppe, so ist \(\mathfrak{R}_H\) die Rechtsnebenklasseneinteilung von \(G\) nach \(H\). Jede Untergruppe ist unitär.
\(H\) heißt symmetrisch, wenn \({}_H W = W_H\) und \({}_H \mathfrak{R}=\mathfrak{R}_H\) ist. Ist \(H\) symmetrisch, stark und rein, so ist die Restklassenmenge \(F = \dfrac{D}{\mathfrak{R}_H}\) eine Halhgruppe; ist \(H\) ein symmetrisches, starkes und reines Teilgruppoid, so ist \(F\) eine Gruppe, und es ist \(Q_a={}_aQ\) für jedes \(a\) in \(D\). Ist \(H\) nicht rein, also \(W_H \neq 0\), so sind die Verhältnisse komplizierter, man muß sich auf \(F^* = F - \{W_H\}\) beschränken. Weitere Aussagen, wenn \(H\) andere Voraussetzungen erfüllt.
Der Homomorphiesatz wird in mehreren Fassungen bewiesen; eine lautet: Ist die Halbgruppe \(F\) homomorphes Bild \(\alpha(D)\) einer strengen Halbgruppe \(D\), so ist jede Homomorphieklasse \(H\) von \(D\) ein symmetrischer starker Komplex, und es ist \(\mathfrak{R}_{\alpha}=\mathfrak{R}_H = {}_H\mathfrak{R}\), \(\dfrac{D}{\mathfrak{R}_H} \simeq F\).
Kapitel II beschäftigt sich mit folgender Äquivalenzrelation: Ein Komplex \(H\) heißt rechtsreversibel, wenn zu jedem \(a_1\), \(a_2\) aus \(H\) Elemente \(b_1\), \(b_2\) mit \(b_1 a_1 = b_2 a_2\) existieren. Ist \(S\) ein rechtsreversibles Teilgruppoid von \(D\), so wird durch: \(a P_S a_1\) dann und nur dann, wenn \(sa=s_1a_1\) für geeignete \(s\), \(s_1\) aus \(S\) gilt, eine Äquivalenz in \(D\) erklärt, die rechtsreversible Äquivalenz \(P_S . S\) ist in einer Klasse \(L_S\) nach \(P_S\) enthalten; \(L_S\) ist ein linksunitäres Teilgruppoid. Es ist stets \(P_{L_S} = P_S\). Es ist \(S = L_S\) dann und nur dann, wenn \(S\) linksunitär ist. Ein Teilgruppoid \(S\) von \(D\) heißt zentral, wenn für jedes \(r\) in \(D\) \(rS = Sr\) ist, stabil, wenn \(S\) (beiderseitig) reversibel ist und \(P_S = {}_SP\) gilt. Es gilt nun, daß jedes zentrale Teilgruppoid einer Halbgruppe stabil ist. Es ist \(L_S={}_SL\), und \(L_S\) ist das Einheitselement von \(\dfrac{D}{P_S}\).
Ist \(S\) ein rechtsreversibles und linksunitäres Teilgruppoid, so ist \(P_S \subset \mathfrak{R}_S\). Ist \(S\) ein rechtsreversibles starkes Teilgruppoid, so ist \(L_S = {}_SU\). Weitere Zusammenhänge von \(P_S\) und \(\mathfrak{R}_S\), speziell für den Fall einer Semigruppe \(I\), d. h. einer rechts- und linkskürzbaren Gruppe.
Den Abschluß bilden Sätze über das Zentrum und die inneren Automorphismen in einer Semigruppe: Die inneren Automorphismen bilden eine Halbgruppe, die homomorphes Bild des Innern von \(I\) ist, das aus allen Elementen \(x\) besteht, für die \(xa=bx\) für jedes \(a\) durch ein \(b\) und umgekehrt lösbar ist. Das Zentrum \(Z\) ist unitär, sein Residuum (das durch \(\mathfrak{R}_Z\) in \(I\) erklärt ist) prim.