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Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper. (German) JFM 67.0107.01
Die G. Herglotz gewidmete Arbeit beginnt mit der Feststellung, daß die letzte Eintragung im Gaußschen Tagebuch, deren Behauptung von Herglotz [Ber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Phys. Kl. 73, 271–276(1921; JFM 48.0436.02)) bewiesen wurde, identisch ist mit der Riemannschen Vermutung für Kongruenzzetafunktionen vom Geschlecht 1 im Falle der lemniskatischen Funktionen.
Verf. untersucht die Frage, welche Typen als Multiplikatorenringe \(R\) elliptischer Funktionenkörper \(K\) von Primzahlcharakteristik \(p\) auftreten können. Es gibt drei Möglichkeiten:
1) \(R\) ist der Ring \(\varGamma\) der rationalen Zahlen,
2) \(R\) ist eine vorgegebene Ordnung in einem vorgegebenen imaginär quadratischen Zahlkörper,
3) \(R\) ist eine vorgegebene Ordnung in einer definiten Quaternionenalgebra \(Q_{\infty, p}\) mit den Verzweigungsstellen \(\infty\) und \(p\).
Im Falle 2) muß \(p\) in dem quadratischen Zahlkörper in zwei verschiedene Primideale zerfallen und der Führer von \(R\) zu \(p\) teilerfremd sein.
Im Falle 3) muß \(p\) eine Maximalordnung in \(Q_{\infty, p}\) sein. Alle 3 Typen von \(R\) kommen wirklich vor.
Der Typus von \(K\) kann durch die Invariante \(j\) gekennzeichnet werden. Im Falle 2) gibt es genau so viele verschiedene Invarianten \(j\), zu denen \(R\) gehört, wie die Klassenzahl \(h\) von \(R\) beträgt; alle diese \(j\) sind absolut algebraisch. Wenn \(f\) der Exponent der Idealklasse von \(R\) ist, der einem der beiden in \(p\) aufgehenden Primideale von \(R\) angehört, so haben die \(j\) den Absolutgrad \(f\), zerfallen also in \(h/f\) Gruppen von je \(f\) untereinander konjugierten.
Im Falle 3) gibt es zu \(R\) entweder genau eine absolut rationale Invariante \(j\) oder zwei konjugierte Invarianten \(j\) vom Absolutgrad 2, je nachdem der Primteiler von \(p\) in \(R\) Hauptideal ist oder nicht: Bei gegebenem \(Q_{\infty, p}\) ist die Anzahl aller möglichen \(j\) gleich der Klassenzahl von \(Q_{\infty, p}\).
Jeder elliptische Körper von Primzahlcharakteristik mit absolut algebraischer Invariante besitzt komplexe Multiplikatoren. Bei gegebenem \(j\) im Galoisfeld \(\mathrm{GF}(p^f)\) tritt notwendig einer der Fälle 2), 3) ein. Die Abzählung der möglichen \(j\) führt auf die Klassenzahlrelation
\[ \sum h (d_{pf,p}) + t_{pf} = p^f \]
Dabei bezeichnen \(d_{pf,p}\) diejenigen nicht durch \(p\) teilbaren Diskriminanten definiter binärer quadratischer Formen, deren zugehörige Hauptform \(p^f\) eigentlich darstellt, \(h(d_{pf,p})\) die Klassenzahl von \(d_{pf,p}\) und \(t_{pf}\) für gerades \(f\) die Klassenzahl von \(Q_{\infty, p}\), für ungerades \(f\) das arithmetische Mittel von Klassen- und Typenzahl von \(Q_{\infty, p}\).
Zur Herleitung dieser Ergebnisse muß man von elliptischen Körpern der Charakteristik 0 zu solchen von Primzahlcharakteristik übergehen können und umgekehrt. Zu diesem Zweck beweist Verf. folgende Sätze:
1. Im Konstantenkörper \(k\) des elliptischen Funktionenkörpers \(K\) sei durch eine Exponentenbewertung ein Primdivisor \(\mathfrak p\) gegeben. Dann und nur dann, wenn die Invariante \(j\) von \(K\) \(\mathfrak p\)-ganz ist, gibt es eine definierende Gleichung \(f(z, y) = 0\) von \(K\), die auch modulo \(\mathfrak p\) irreduzibel und vom Geschlecht 1 ist. Den Divisoren, Divisorenklassen und Multiplikatoren von \(K\) können dann bestimmte Divisoren, Divisorenklassen und Multiplikatoren des Restklassenkörpers \(\overline K\) von \(K\) modulo \(\mathfrak p\) als “Reste” so zugeordnet werden, daß die Relationen zwischen Elementen, Divisoren, Klassen und Multiplikatoren erhalten bleiben.
2. Wenn der Körper \(\bar{K}_0\) der Charakteristik \(p\) einen Multiplikator \(\bar{\mu}\) hat, so läßt er sich durch Reduktion modulo einem Primteiler \(\mathfrak p\) von \(p\) aus einem Körper \(K_0\) der Charakteristik 0 gewinnen, von dessen Multiplikatoren einer modulo \(\mathfrak p\) in den vorgegebenen Multiplikator \(\bar \mu\) übergeht.

MSC:
11R58 Arithmetic theory of algebraic function fields
14H05 Algebraic functions and function fields in algebraic geometry
Subjects:
Erster Halbband. C. Arithmetik und Algebra. 6. Zahl- und Funktionenkörper. c) Funktionenkörper.
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