“The large sieve.”. (English) JFM 67.0128.01

Linnik, U. V.

C. R. Acad. Sci. URSS (2) 30, 292-294 (1941).

Es sei \(X\) eine natürliche Zahl; jeder Primzahl \(p\) mit (1) \(p \leqq \sqrt{X}\) sei eine Zahl \(f (p)\) mit \(0 < f (p) <p\) zugeordnet; es sei \(\tau\) das Minimum von \(f(p)/p\) für alle Primzahlen (1). Dann gilt: I. Sind \(Z\) verschiedene natürliche Zahlen \[ M_1, \dots, M_Z (M_f \leqq X) \tag{2} \] gegeben, so genügt die Anzahl \(Y\) derjenigen Primzahlen \(p\) mit (1), für welche die Zahlen (2) zu höchstens \(p - f (p)\) verschiedenen Restklassen modulo \(p\) gehören, der Ungleichung (3) \(YZ \leqq 20 \pi X\tau^{-2}\). – II. Es seien \(Y\) verschiedene Primzahlen (4) \(p_1, \dots, p_Y\) mit (1) gegeben; jeder Primzahl \(p_i\) aus (4) ordne man \(f(p_i)\) verschiedene Restklassen modulo \(p_i\) zu; man lasse von den Zahlen (5) \(1, 2,\dots, X\) diejenigen weg, die nach mindestens einer der Primzahlen (4) einer der genannten Restklassen angehören; ist \(Z\) die Anzahl der übrigbleibenden Zahlen aus (5), so gilt wieder (3). -II ist eine unmittelbare Folge von I und stellt ein Siebverfahren dar, welches dann von Interesse ist, wenn die Anzahl \(f(p)\) der unterdrückten Restklassen für großes \(p\) groß ist. – Auf S. 293, Z. 5 v. u. fehlt der Faktor \(p/s\).

Reviewer: Jarník, Vojtěch, Prof. (Prag), [ZBL]

MSC:

11N35	Sieves
11M35	Hurwitz and Lerch zeta functions
11N13	Primes in congruence classes
11P32	Goldbach-type theorems; other additive questions involving primes