Khintchine’s problem in metric diophantine approximation. (English) JFM 67.0145.03

Duffin, R. J.; Schaeffer, A. C.

Duke math. J. 8, 243-255 (1941).

In seiner Arbeit “Einige Sätze über Kettenbrüche, mit Anwendungen auf die Theorie, der Diophantischen Approximationen”, Math. Ann., Berlin, 92 (1924), 115-125 (F. d. M. 50, 125 (JFM 50.0125.*)) bewies Khintchine unter anderem einen Satz; der sich folgendermaßen formulieren läßt:
Ist \((\alpha_q)\) eine Folge von positiven Zahlen, welche die Bedingungen
(a) \(\sum\limits_{q=1}^\infty \alpha_q\) divergiert, (b) \(q \alpha_q\) ist eine abnehmende Funktion von \(q\), erfüllen, so gibt es für fast alle \(x\) beliebig viele rationale Zahlen \(\dfrac pq\), so daß \[ \left|x - \dfrac pq\right| < \dfrac{\alpha_q}{q} \;\text{ ist.} \]
Die Bedingung (a) ist für alle Zahlen \(\alpha_q\) mit der Eigenschaft (b) notwendig und hinreichend.
Verf. zeigen, daß man unter Voraussetzung der Bedingung (a) die Bedingung (b) durch eine schwächere ersetzen kann. Mit der Bedingung (a) allein jedoch kommt man nicht aus, wie an einem Beispiel dargelegt wird. Statt der Bedingung (b) erhalten sie die schwächere
(b\(^\prime\)) \(\dfrac{\alpha_q}{q^c}\) ist eine abnehmende Funktion von \(q\) (\(c\) reelle Konstante) oder dies noch schwächere Bedingung
(b\(^{\prime\prime}\)) Es gibt eine Konstante \(c> 0\), so daß für beliebig viele \(n\) \[ \sum_{\nu=1}^n \dfrac{\alpha_\nu \varphi(\nu)}{\nu} > c\sum_{\nu=1}^n \alpha_\nu \quad \text{ (Eulersche } \varphi\text{-Funktion).} \]
Die Frage nach einer notwendigen und hinreichenden Bedingung für die Folge \((\alpha_q)\) mit \(\alpha_q \geqq 0\) bleibt offen.

Reviewer: Heinhold, J., Dr. (München)

JFM Section:

Erster Halbband. C. Arithmetik und Algebra. 7. Zahlentheorie. m) Diophantische Approximationen.

Citations:

JFM 50.0125.*