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Partially ordered sets. (English) JFM 67.0157.01

Der erste Teil dieser Arbeit enthält Sätze über die Dimension von Paarmengen \(P\), welche die Elemente einer Menge \(S\) teilweise ordnen. Dabei verstehen Verf. unter Dimension von \(P\) die kleinste Kardinalzahl \(\mathfrak m\) derart, daß \(P\) als Durchschnitt von \(\mathfrak m\) linear ordnenden Paarmengen \(P_\alpha\) darstellbar ist. Es gilt: Definiert \(P\) eine partielle Anordnung von \(S\), so ist die Dimension von \(P\) endlich, wenn \(S\) endlich ist, und ist \(\overline{\overline S} = \mathfrak m\), \(\mathfrak m\) transfinit, so ist die Dimension von \(P\) stets \(\leqq \mathfrak m\). Gehört jedes Paar genau zu einer der Paarmengen \(P\), \(Q\) so heißen diese konjugiert. Eine Anordnung heißt reversibel, wenn sie eine konjugierte hat. Eine Erweiterung \(L\) von \(P\), die eine volle lineare Anordnung definiert, heißt separierend, wenn drei Elemente \(a\), \(b\), \(c\) existieren derart, daß \(a < c\) in \(P\), \(b\) weder mit \(a\) noch \(c\) in \(P\) vergleichbar ist, in \(L\) dagegen \(a < b < c\) gilt. Dann beweisen Verf. die Gleichwertigkeit der vier Eigenschaften: 1) \(P\) ist reversibel, 2) es gibt eine nicht-separierende lineare Erweiterung \(L\) von \(P\), 3) die Dimension von \(P\) ist \(\leqq 2\), 4) es gibt eine Darstellung von \(P\) als Schar von Intervallen einer linear geordneten Menge. Weiter wird die Existenz von Mengen gegebener Dimension bewiesen. – Danach werden auch Graphen betrachtet; z. B. wird bewiesen, daß jeder Graph \(G\) von der Mächtigkeit \(\mathfrak m\), \(\mathfrak m\) transfinit, in dem jede Untermenge der Mächtigkeit \(\mathfrak m\) zwei mit einem Weg verbindbare Elemente enthält, einen vollständigen Graphen der Mächtigkeit \(\aleph_0\) enthält. Enthält jede abzählbare Untermenge zwei verbundene Elemente, so enthält \(G\) einen vollständigen Graphen der Mächtigkeit \(\mathfrak m\). Hieraus folgen leicht zwei Korollare für teilweise Ordnungen. Zum Schlusse wird unter Anwendung der Kontinuumhypothese die Existenz einer nichtabzählbaren Menge \(N\) reeller Zahlen bewiesen, derart, daß zwei beliebige elementfremde Untermengen \(N_1\) und \(N_2\) von \(N\) nicht eineindeutig mit Beibehaltung oder Umkehrung der Anordnung aufeinander abgebildet werden können.

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