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Intégrale de Denjoy dans les espaces abstraits. (French) JFM 67.0170.01
Die Arbeit bringt zwei Verallgemeinerungen des Denjoy-Integrals auf abstrakte Räume. Bei beiden wird zugrunde gelegt ein regulärer topologischer Raum \(R\) mit zweitem Abzählbarkeitsaxiom, ferner eine nicht negative volladditive Mengenfunktion \(m\), welche über dem System der Borelschen Mengen aus \(R\) mit kompakter abgeschlossener Hülle erklärt ist und für die offenen Mengen positive Werte besitzt. Im folgenden wird an Stelle von \(m\) sofort die vollständige Erweiterung von \(m\) auf das System der meßbaren Mengen mit kompakter abgeschlossener Hülle benutzt. Für die reellen, \(m\)-meßbaren Funktionen über \(R\) ist dann wie üblich das (Lebesgue-) Integral \(\int f(x)\,dm\) erklärt (\(m\)-Integral). Dazu tritt ein System \(\varPhi\) von sogenannten Fundamentalmengen (im folgenden mit \(A\), \(B\), \(C\) usw. bezeichnet), kurz F.M., welche I. ein Umgebungssystem in \(R\), und zwar eine Basis von \(R\), bilden, II. kompakte abgeschlossene Hüllen besitzen, ferner folgende Zerlegungseigenschaften aufweisen; man bezeichnet dabei als eine F.M.-Zerlegung (F.M.Z.) einer offenen Menge \(O\) jede Darstellung \(O =\sum\limits_{\nu} A_{\nu} + N\) von \(O\) als Summe aus einer \(m\)-Nullmenge \(N\) und endlich vielen, paarweise fremden F.M. \(A_{\nu}\), den sogenannten Elementen der F.M.Z.
\(O\) heißt zerlegbar, falls eine F.M.Z. existiert. Gefordert wird nun III. Ist \(A' \subset A\), so existiert eine F.M.Z. mit \(A'\) als Element; IV. Der Durchschnitt zweier F.M. ist zerlegbar; V. Jede F.M. ist zerlegbar in F.M. beliebig kleinen Maßes \(m\); VI. Ist jedes Element einer F.M.Z. der F.M. \(A\) enthalten in der F.M. \(B\), so gilt \(A\subset B\). – Für eine reelle, endliche Mengenfunktion \(F(A)\), welche für alle in \(A\) enthaltenen F.M. erklärt ist, kurz F.M.-Funktion über \(A\), erklärt man das Buirkill-Integral \(\int\limits_A F\) über \(A\) als den Limes (falls er existiert und endlich ist) der Summen \(\sum\limits_{\nu} F(A_{\nu})\) für alle F.M.Z. von \(A\) mit \(\max m (A_{\nu}) \to 0\).
Bei der ersten Verallgemeinerung wird von den F.M. weiter gefordert: VII. Jede F.M. läßt sich von innen her durch F.M. dem Maße nach beliebig genau annähern (d. h. zu \(A\) und \(\varepsilon > 0\) gibt es F.M. \(B\) mit \(\overline{B} \subset A\) und \(m(A) -m(B)<\varepsilon\)). Nunmehr wird ein Punkt \(x\) der Menge \(E\) isoliert im speziellen Sinne (\(s\)-isoliert) genannt, wenn eine Umgebung von \(x\) auf \(E\) enthalten ist in der Begrenzung einer F.M. Ferner heißt eine F.M.-Funktion \(F (A)\) innerhalb stetig auf \(A'\), wenn \(|F(A)-F(B)|\) beliebig klein wird für alle F.M. \(B\) mit \(B \subset A\) und hinreichend kleinem \(m (A - B)\), und wenn dies, für alle \(A\subset A'\) gilt. Zur Abkürzung sei noch folgende Ausdrucksweise eingeführt: Es besitzt \(F\) die Eigenschaft \(p\) im verallgemeinerten Sinne (i. v. S.) auf \(A\), wenn zu jeder abgeschlossenen Menge \(E\) ohne s-isolierte Punkte und zu jeder \(B\subset A\) mit \(BE \neq 0\) eine Menge \(C \subset B\) mit \(CE \neq 0\) existiert, für welche die Eigenschaft \(p\) bezüglich \(E\) gilt. Nunmehr lautet die erste Integraldefinition: Die Eigenschaft \(p\) bezüglich \(E\) sei für eine F. M.-Funktion \(F (A)\) mit einer Punktfunktion \(f(x)\) die, daß für jede \(C' \subset C\) gilt: \[ \int\limits_{C'} F_E = \int\limits_{C'E} f\,dm. \] Dabei ist \(F_E (A') = F (A')\) für \(\overline{A'}E \neq0\) bzw. \(= 0\) für \(\overline{A'}E = 0\). Es heiße dann die in der F.M. A fast überall erklärte reelle Funktion \(f(x)\) \(D\)-integrabel, wenn eine additive, innerhalb stetige F.M.-Funktion \(F (A)\) über \(A\) existiert, welche auf \(A\) die Eigenschaft \(p\) i. v. S. besitzt. \(F\) ist eindeutig bestimmt. \(F (A)\) heiße das \(D\)-Integral von \(f (x)\), in Zeichen \((D)\int\limits_A f\,dm\). Ohne weitere zusätzliche Annahmen über die F.M. folgen jetzt die einfachsten Eigenschaften des \(D\)-Integrals. Um die \(D\)-Integrabilität einer jeden summierbaren Funktion zu sichern (d. h. um das \(m\)-Integral als Spezialfall des \(D\)-Integrals zu erhalten), wird folgende Forderung eingeführt: VIII. Ist \(K\) irgend eine kompakte und \(O\) irgend eine, \(K\) enthaltende offene Menge, so ist jede F.M. \(A\) von hinreichend kleinem Maß mit \(\overline{A}K \neq 0\) in \(O\) enthalten. Um ferner eine Verallgemeinerung des Vitalischen Überdeckungssatzes zu erhalten, wird von den F.M. noch gefordert: IX. Zu jeder kompakten Menge \(K\) existiert ein \(a > 0\) von folgender Art: Ist \(A \subset K\), \(A_{\mu}\subset K\), \(\mu=1,\ldots,m\), mit \(AA_{\mu} \neq0\) und \(m(A_{\mu}) \leqq m(A)\), so gilt \(m\left(\sum\limits_{\mu}A_{\mu}\right) < am(A)\); ferner X. Approximierbarkeit jeder F.M. A dem Maße nach von außen her (durch F.M. \(B\), in welchen \(\overline{A}\) enthalten ist). (Vgl. VII.) Nun ergibt sich sofort der Begriff der (unteren, oberen) Derivierten einer F.M.-Funktion usw. sowie der Fundamentalsatz für das \(D\)-Integral (d. h. das unbestimmte \(D\)-Integral besitzt fast überall eine Derivierte gleich dem Integranden); ebenso für das \(m\)-Integral.
Nennt man eine F.M.-Funktion \(F (A)\) absolut stetig auf \(A\) i. v. S., wenn die Eigenschaft \(p\) bezüglich \(E\) lautet: \(F_E\) ist absolut stetig (d. h. für jede Summe endlich vieler, fremder, in \(C\) enthaltener F.M. \(A_{\nu}\) mit hinreichend kleinem \(m\left(\sum\limits_{\nu} A_{\nu}\right)\) ist zugleich \(\left|F_E \left(\sum\limits_{\nu} A_{\nu}\right)\right|\) beliebig klein), so gilt: Damit die additive, innerhalb stetige F.M.-Funktion \(F (A)\) unbestimmtes \(D\)-Integral sei, ist notwendig und hinreichend, daß \(F\) absolut stetig i. v. S. und Burkill-integrabel i. v. S. sei (d. h. daß \(F_E\) Burkill-integrabel sei über \(C\)) oder (statt Burkill-integrabel) daß \(F\) fast überall eine Derivierte besitze. -Unter Hinzunahme einer weiteren Bedingung (Beweglichkeitsbedingung) für die F.M., derzufolge aus \(\overline{A''} \subset \overline{A'} \subset A\) für einen auf der Begrenzung von \(A'\) gelegenen Punkt \(x\) die Existenz einer F.M. \(B\) folgt mit \(\overline{A''} \subset B \subset \overline{B} \subset A\), \(x \in B\) und \(m(B) = m(A')\) sich ergibt, wird gezeigt, daß eine endliche Derivierte einer additiven, in einem bestimmten Sinne stetigen F.M.-Funktion \(D\)-integrabel und daß ihr unbestimmtes Integral Primitivfunktion ist. – Anschließend werden ein Perronsches (\(P\)) und ein Riddersches (\(R\)) Integral definiert und unter anderem gezeigt, daß aus der \(D\)-Integrabilität die \(R\)-Integrabilität folgt. Schließlich wird noch ein \(\overline{D}\)-Integral mit Hilfe von Majoranten und Minoranten definiert wie folgt: Es heißt \(f(x)\) \(\overline{D}\)-integrabel, wenn es Majoranten und Minoranten gibt, die sich beliebig wenig unterscheiden. Dabei heißt z. B. \(M (A)\) eine Majorante, wenn \(M (A)\) additive, innerhalb stetige F.M.-Funktion ist, welche i. v. S. die folgende Eigenschaft besitzt: Bezüglich \(E\) gilt für jede F.M. \(C' \subset C\) \[ \int\limits_{\overline{C'}} M_E \geqq \int\limits_{C'E} f\,dm. \] Aus der \(R\)-Integrabilität folgt die \(\overline{D}\)-Integrabilität.
Die sämtlichen Integraldefinitionen und die damit zusammenhängenden Definitionen werden auf den Fall variabler Indizes ausgedehnt. Dabei handelt es sich darum, daß nicht nur ein System \(\varPhi\) von F.M., sondern eine geordnete Menge solcher Systeme in Betracht gezogen wird, wobei jedes dieser Systeme in allen vorhergehenden enthalten ist und jede F.M. aus dem “ersten” System in jedem der Systeme zerlegbar ist. Bezüglich der näheren Einzelheiten hierüber muß auf die Arbeit selbst verwiesen werden.
Bei der zweiten Verallgemeinerung des Denjoy-Integrals wird zunächst der Begriff der Eigenschaft (\(B\)) eingeführt. Man sagt dabei, es genüge die F.M.-Funktion \(F (A)\) der Eigenschaft (\(B\)) auf \(A\), wenn für jede abgeschlossene Menge \(E \subset \overline{A}\), welche der Begrenzung einer F.M. angehört, und für jede F.M. \(B\) mit \(BE \neq 0\) eine \(C \subset B\) mit \(CE \neq 0\) existiert derart, daß \(CA\) eine F.M.Z. \(S\) besitzt von folgender Art: Für jede F.M. \(A'\), die in einem Element von \(S\) enthalten ist, gilt \(\int\limits_{A'} F_E = 0\). Man erhält nun die Definition des in Rede stehenden \(D'\)-Integrals, wenn man in der Definition des \(D\)-Integrals an Stelle der innerhalb-Stetigkeit von \(F\) fordert, daß (\(B\)) gilt. Auch das \(D'\)-Integral besitzt die Fundamentaleigenschaft. Dann und nur dann ist eine additive, (\(B\)) besitzende F.M.-Funktion \(F (A)\) ein unbestimmtes \(D'\)-Integral, wenn \(F\) absolut stetig i. v. S. und Burkill-integrabel i. v. S. ist oder fast überall eine Derivierte besitzt. Daneben wird noch ein etwas schärferer Deriviertenbegriff eingeführt sowie das mit Hilfe von Majoranten/Minoranten definierte \(\overline{D}'\)-Integral, von welchem das \(D'\)-Integral umfaßt wird. Schließlich werden die Begriffe wieder auf den Fall variabler Indizes übertragen.

Subjects:
Erster Halbband. D. Analysis. 3. Differentiation und Integration reeller Funktionen. b) Maß- und Integrationstheorie.
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