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Über die Fouriersche Entwicklung der singulären Funktion bei einer Lebesgueschen Zerlegung. (German) JFM 67.0221.04
\(f(\vartheta)\) sei eine im Intervall \(0\leqq\vartheta\leqq 2\pi\) definierte, monoton wachsende und beschränkte Funktion. Dann läßt sich \(f(\vartheta)\) zerlegen in eine Summe von zwei monoton wachsenden Funktionen: \(f(\vartheta) = T(\vartheta) + S(\vartheta)\), von denen die erste \(T(\vartheta)\) totalstetig ist, während die “singuläre Funktion” \(S(\vartheta)\) konstante \(\lambda\)-Variation besitzt (Lebesguesche Zerlegung; vgl. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen (1918; F. d. M. 46, 376 (JFM 46.0376.*)), § 500). Verf. behandelt nun folgendes Problem: Ist \(f(\vartheta) = a_0 + \sum\limits_{k=1}^\infty (a_k\cdot\cos\,k\vartheta + \bar{a}_k\cdot\sin\,k\vartheta)\) die Fouriersche Entwicklung von \(f(\vartheta)\), wie drückt sich dann die Nullvariation von \(f(\vartheta)\) im Intervall \(0\leqq\vartheta\leqq 2\pi\) (also die Größe \(S(2\pi)\) durch die Koeffizienten \((a_k, \bar{a}_k)\) aus? Als Resultat, das hier nicht ausführlich formuliert werden kann, wird ein expliziter Ausdruck für die fragliche Größe \(S(2\pi)\) abgeleitet, der die Koeffizienten \((a_k, \bar{a}_k)\) und außerdem noch andere, aus gewissen Nebenbedingungen zu bestimmende Größen enthält. Anschließend wird noch eine Formel für \(S(\xi)\) bei beliebigem \(\xi (0\leqq\xi\leqq 2\pi)\) angegeben.
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