×

On the behavior of trigonometric series and power series. (English) JFM 67.0225.02

I. In einer früheren Arbeit (Fundam. Math., Warszawa, 26 (1936), 1-43; JFM 62.0287.*) haben die Verf. zwei Sätze über das Verhalten der Cesàroschen Mittel einer trigonometrischen Reihe \[ \frac 12a_0+\sum_{\nu=1}^\infty (a_\nu\cos \nu\theta + b_\nu\sin \nu\theta) \tag{1} \] und ihrer konjugierten Reihe \[ \sum_{\nu=1}^\infty (a_\nu \sin \nu\theta-b_\nu\cos\nu \theta) \tag{2} \] bewiesen. Bezeichnet man die Cesàroschen Mittel \(\alpha\)-ter Ordnung von (1) mit \(\sigma_n^\alpha(\theta)\), die von (2) mit \(\tilde \sigma_n^\alpha(\theta)\), so besagen dieselben:
(Ia). Ist (1) in den Punkten einer Menge \(E\) von positivem Maß Abel-summierbar und gilt für ein \(\alpha>-1\) \[ \varliminf_{n\to \infty}\sigma_n^\alpha(\theta) >-\infty \;\text{für} \;\theta \in E, \tag{3} \] so gelten an fast allen Stellen \(\theta\) aus \(E\) die Beziehungen \[ \begin{gathered} \varlimsup_{n\to \infty}\sigma_n^\alpha(\theta)<+\infty, \tag{4} \\ -\infty<\varliminf_{n\to \infty}\tilde \sigma_n^\alpha(\theta)\leqq \varlimsup_{n\to \infty} \tilde \sigma_n^\alpha(\theta)< + \infty, \tag{5} \\ \varlimsup_{n\to \infty}\tilde \sigma_n^\alpha(\theta)\varliminf_{n\to \infty} \tilde\sigma_n^\alpha(\theta) =\varlimsup_{n\to \infty}\sigma_n^\alpha(\theta)\varliminf_{n\to\infty}\sigma_n^\alpha(\theta). \tag{6} \end{gathered} \] Überdies sind die beiden Reihen (1) und (2) in \(E\) fast überall \((C,\alpha+\varepsilon)\)-summierbar (\(\varepsilon>0\)) zu Werten \(s(\theta)\) bzw. \(\tilde s(\theta)\) (von denen der erste mit der \(A\)-Summe von (1) übereinstimmt) und es gilt fast überall in \(E\) \[ s(\theta)=\frac 12[\varliminf_{n\to \infty}\sigma_n^\alpha(\theta) +\varlimsup_{n\to \infty}\sigma_n^\alpha(\theta)], \quad \tilde s(\theta)=\frac 12[\varliminf_{n\to \infty}\tilde \sigma_n^\alpha(\theta)+\varlimsup_{n\to \infty} \tilde \sigma_n^\alpha(\theta)]. \tag{7} \]
(Ib). Die Cesàroschen Mittel \(\alpha\)-ter Ordnung (\(\alpha>-1\)) von (1) seien auf einer Punktmenge \(E\) von positivem Maß beschränkt. Dann sind die Reihen (1) und (2) in E fast überall \((C,\alpha+\varepsilon)\)-summierbar (\(\varepsilon > 0\)), und es gelten die Beziehungen (5), (6) und. (7).
Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit geben die Verf. neue Beweise dieser beiden Sätze. Sie weisen gegenüber den früheren Beweisen verschiedene Vereinfachungen auf, insbesondere wird die Theorie der höheren verallgemeinerten Ableitungen nicht mehr herangezogen.
II. Daran anschließend wird im zweiten Teil der Arbeit das Verhalten der Cesàroschen Mittel einer Potenzreihe auf ihrem Konvergenzkreis untersucht. Zugrunde gelegt sei die Potenzreihe \[ F(z)=\sum_{\nu=0}^\infty c_\nu z^\nu \;\text{in} \;|z|<1, \] so daß die zu untersuchende Reihe die Form \[ \sum_{\nu=0}^\infty c_\nu e^{i\nu\theta} \tag{8} \] hat. Die Cesàroschen Mittel \(\alpha\)-ter Ordnung dieser Reihe seien mit \(\tau_n^\alpha(\theta)\) bezeichnet, ferner bedeute \(L^\alpha(\theta)\) die Menge der Häufungspunkte der Folge \(\{\tau_n^\alpha(\theta)\}\). Dann lassen sich die Resultate der Verf. folgendermaßen aussprechen:
(IIa). Die Reihe (8) sei in den Punkten \(e^{i\theta}\) einer Menge \(E\) des Einheitskreises \((C,\alpha+1)\)-summierbar (\(\alpha>-1\)) zur Summe \(t(\theta)\). Dann weist \(L^\alpha(\theta)\) in fast allen Punkten \(e^{i\theta}\) von \(E\) “Kreisstruktur” mit dem Zentrum \(t(\theta)\) auf (was besagt, daß mit jedem zu \(L^\alpha(\theta)\) gehörigen Punkt \(\zeta\) der ganze Kreis um das Zentrum \(t(\theta)\) durch den Punkt \(\zeta\) der Menge \(L^\alpha(\theta)\) angehört). – Insbesondere besitzt \(L^\alpha(\theta)\) für fast alle Punkte \(e^{i\theta}\) von \(E\) Kreisstruktur, wenn die Folge \(\{\tau_n^\alpha(\theta)\}\) in jedem Punkt \(e^{i\theta}\) von \(E\) beschränkt ist.
(IIb). Sind die Voraussetzungen des Satzes (IIa) für ein \(\alpha\geqq 0\) erfüllt, und strebt \(c_n\to 0\), so besteht fast überall in \(E\) die Menge \(L^\alpha(\theta)\) aus dem Kreisring um \(t(\theta)\) mit den Radien \(\varliminf\limits_ {n\to\infty} |\tau_n^\alpha(\theta)-t(\theta)|\) und \(\varlimsup \limits_{n\to \infty}|\tau_n^\alpha(\theta)-t(\theta)|\).
III. Weiter wird der Beweis eines von den Verf. schon früher (a. a. 0.) mit Beweisskizze veröffentlichten Satzes über die starke Summierbarkeit der trigonometrischen Reihen ausgeführt: Ist eine trigonometrische Reihe (1) in jedem Punkt einer Menge \(E\) stark summierbar mit dem Index \(q\geqq 1\), so ist die konjugierte Reihe (2) fast überall in \(E\) stark summierbar mit dem Index \(q\).
IV. Endlich wird angegeben, wie sich die unter I und II bewiesenen Sätze auf Dirichletsche Reihen, allgemeiner auf Stieltjes-Integrale der Form \[ \int\limits_0^\infty e^{-\lambda s}\,dC(\lambda) \] (\(s=u+iv\), \(C(\lambda)=A(\lambda)-iB(\lambda)\) in jedem endlichen Intervall schwankungsbeschränkt) bzw. auf die aus ihnen für \(s=-iv\) durch Zerlegung in Real- und Imaginärteil hervorgehenden Integrale \[ \int\limits_0^\infty [\cos \lambda v\,dA(\lambda)+\sin \lambda v\,dB(\lambda)] \quad \text{und} \quad \int\limits_0^\infty [-\cos \lambda v\, dB(\lambda)+ \sin \lambda v\, dA(\lambda)] \] übertragen.

Citations:

JFM 62.0287.*
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI

References:

[1] A. F. Andersen Studier over Cesàro’s Summabilitetsmetode, Copenhagen, Gjellerup, 1921. · JFM 48.0225.01
[2] G. H. Hardy and J. E. Littlewood Contributions to the arithmetic theory of series, Proceedings of the London Mathematical Society, vol. 11 (1913), pp. 401-478. · JFM 43.0312.01
[3] G. H. Hardy and M. Riesz Dirichlet’s Series, Cambridge Tracts, Cambridge, 1915. · JFM 45.0387.03
[4] J. Karamata, Über die Hardy-Littlewoodschen Umkehrungen des Abelschen Stetigkeitssatzes, Math. Z. 32 (1930), no. 1, 319 – 320 (German). · JFM 56.0210.01
[5] E. Kogbetliantz Sommation des séries et intégrales divergentes, Mémorial des Sciences Mathématiques, vol. 51, pp. 1-75. · JFM 57.1376.02
[6] B. Kuttner A theorem on trigonometric series, Journal of the London Mathematical Society, vol. 10 (1935), pp. 131-140. · Zbl 0011.25501
[7] J. Marcinkiewicz, Sur la sommabilité forte de séries de Fourier, J. London Math. Soc. 14 (1939), 162 – 168 (French). · JFM 65.0264.02
[8] J. Marcinkiewicz and A. Zygmund On the differentiability of functions and summability of trigonometrical series, Fundamenta Mathematicae, vol. 26 (1936), pp. 1-43. · Zbl 0014.11102
[9] A. Plessner Über konjugierte trigonometrische Reihen, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de l’URSS, vol. 4 (1935), pp. 251-253. · Zbl 0013.35002
[10] -Über das Verhalten analytischer Funktionen auf dem Rande des Definitionsbereiches, Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 158 (1928), pp. 219-227.
[11] I. Privaloff Sur une généralisation du théorème de Fatou, Récueil Mathématique de Moscou, vol. 31 (1923), pp. 232-235. · JFM 49.0225.02
[12] W. Rogosinki Über die Abschnitte trigonometrischer Reihen, Mathematische Annalen, vol. 95 (1925), pp. 110-134. · JFM 51.0221.01
[13] A. Zygmund Trigonometrical Series, Monografie Matematyczne, vol. 5, Warsaw, 1935. · JFM 61.0263.03
[14] -Einige Sätze aus der Theorie der divergenten Reihen, Bulletin de l’Académie Polonaise, 1928, pp. 309-331.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.