Über einen Satz von A. Gelfond. (German) JFM 67.0270.01

Selberg, A.

Arch. Math. Naturv., Oslo, 44, No. 15, 159-170 (1941).

Verf. verallgemeinert einen Satz von A. Gelfond (Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. Sci. fis. mat. natur. (6) 10 (1929), 569-574; F. d. M. \(55_{\text I}\), 778): Ist \(g(z)\) eine ganze Funktion, sind die \(g(n), g'(n),\ldots, g^{(p-1)} (n)\) für \(n=0, 1, 2,\ldots\) ganzzahlig und gilt \(|g(z)|< Ae^{\theta|z|}\), \(\theta<\log m\), \(m=\min\prod\limits_{i=1}^p (1+y_i)\) unter den Nebenbedingungen \(y_i > 0\), \(e^{p-1}\cdot y_1y_2\ldots y_p=1\) und \(\left|\prod\limits_{i<j}\left(\dfrac 1{y_i}-\dfrac1{y_j}\right)\right|=1\), so ist \(g(z)\) notwendig ein Polynom. Für \(p\geqq 2\) ist \(m > \left(1+e^{\tfrac{1-p}p}\right)^p\) (Schranke von Gelfond). Beweis mit Hilfe einer Interpolationsformel, allgemeiner als bei Gelfond.

Reviewer: Pfluger, A., Prof. (Freiburg, Schweiz)

JFM Section:

Erster Halbband. D. Analysis. 8. Funktionen komplexer Veränderlicher. d) Ganze und meromorphe Funktionen.