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Quadratisch integrierbare Differentiale auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. (German) JFM 67.0287.02

Die Untersuchung der Abelschen Differentiale erster Gattung auf nicht geschlossenen Riemannschen Flächen, insbesondere solchen unendlichen Geschlechts, hat bisher nur Anfangserfolge in bestimmten Spezialfällen aufzuweisen. Verf. zeigt, daß eine sinnvolle Übertragung der klassischen Theorie auf die genannten Objekte möglich wird, wenn man die Fläche der einschränkenden Bedingung unterwirft, daß ihr idealer Rand das harmonische Maß Null hat, und von den Abelschen Differentialen erster Gattung verlangt, daß ihr über die ganze Fläche erstrecktes Dirichlet-Integral endlich ist. Diese Annahmen erweisen sich als dem Problem genau angemessen. Ihre Formulierung und die auf ihnen beruhende Theorie stellen einen entscheidenden Fortschritt dar.
Im einzelnen beweist Verf. zunächst einige Hilfssätze von grundlegender Bedeutung: 1. Wenn das Differential \(dw = du + idv\) auf einer (im obigen Sinne nullberandeten) Riemannschen Fläche \(F\) regulär und (im obigen Sinne) quadratisch integrierbar ist, wenn ferner das Integral \(u\) eindeutig ist, so ist \(dw \equiv 0\).
2. Bezeichnet \(F_0\) ein beliebiges Gebiet auf \(F\) mit der relativen Berandung \(\varGamma_0\), und \(dw = du + idv\) ein auf \(F\) reguläres und quadratisch integrierbares Differential mit einem auf \(F_0\) eindeutigen Integral \(u\), so gilt für \(u\) auf \(F_0\) das Maximum- und Minimumprinzip.
3. Bei gleicher Bedeutung von \(F_0\) und \(\varGamma_0\) sei \(\varGamma_0\) kompakt, \(dw = du + idv\) auf \(F_0+\varGamma_0\) regulär, das Integral \(u\) dort eindeutig und beschränkt. Dann ist das Dirichlet-Integral \[ {\iint\limits_{F_0}}\left(\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2+ \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right)\,dx\,dy= {\int\limits_{\varGamma_0}}u\,dv. \] Sind ferner \(dw_1 = du_1 + idv_1\), \(dw_2 = du_2 + idv_2\) zwei reguläre quadratisch integrierbare Differentiale auf \(F\), und ist insbesondere das Integral \(u_1\) auf \(F\) eindeutig, so gilt entsprechend \[ {\iint\limits_{F_0}}\left( \dfrac{\partial u_1}{\partial x}\dfrac{\partial u_2}{\partial x}+ \dfrac{\partial u_1}{\partial y}\dfrac{\partial u_2}{\partial y} \right)\,dx\,dy= {\int\limits_{\varGamma_0}}u_1\,dv_2. \]
Die einem regulären Differential \(dw\) auf \(F\) zugeordneten Periodizitätsmoduln \(a_\alpha ={\int\limits_{\alpha}}dw\) für die geschlossenen orientierten Wege \(\alpha\) auf \(F\) bilden einen linearen Modul mit höchstens abzählbar unendlich vielen Erzeugenden \({\int\limits_{\alpha_n}}dw\) (\(n=1\), 2, 3,…). Es ist stets möglich, ein Rückkehrschnittsystem \(\alpha_n\) (\(n = 1\), 2, 3,…) zu konstruieren, das diese Eigenschaft für alle \(dw\) aufweist. Ist \(F\) nullberandet, \(dw\) regulär und quadratisch integrierbar, so ist der Periodizitätsmodul \({\int\limits_{\alpha}} dw= 0\), wenn \(\alpha\) die Fläche \(F\) zerlegt. Dies ergibt auf Grund genannter Hilfssätze, daß \(dw\equiv0\) ist, wenn \({\int\limits_{\alpha_n}}dw = 0\)(\(n=1\), 2, 3,…). Ferner zeigt ein allgemeiner Existenzsatz, daß es zu einem vorgegebenen, \(F\) nicht zerlegenden Rückkehrschnitt \(\alpha\) ein reguläres quadratisch integrierbares Differential \(dw\) auf \(F\) gibt, für welches das Integral \(u\) auf der durch \(\alpha\) zerschnittenen Fläche eindeutig und beschränkt ist und bei Überschreitung von \(\alpha\) um 1 springt.
Auf dieser Grundlage läßt sich die Metrisierung der regulären quadratisch integrierbaren Differentiale auf \(F\) herstellen. Bedeuten \(dw^{(1)}\), \(dw^{(2)}\) zwei solche Differentiale, \(t\) die Ortsvariable eines Punktes auf \(F\) und \(\varphi_j(t)\) (\(j = 1\), 2) die lokalen Ortsfunktionen \(\dfrac{dw_j}{dt}\), so wird das Skalarprodukt von \(dw^{(1)}\) mit \(dw^{(2)}\) durch das Integral \[ (dw^{(1)}, dw^{(2)}) ={\iint\limits_{F}}\varphi_1\overline{\varphi}_2\,dx\,dy \quad(t = x + iy) \] erklärt, das als Summe derartiger Einzelintegrale über ein \(F\) ausschöpfendes Umgebungssystem aufzufassen ist. – Es ergibt sich als Hauptsatz:
Auf jeder nicht schlichtartigen nullberandeten Riemannschen Fläche \(F\) existiert ein endliches oder abzählbar unendliches normiertes Orthogonalsystem von Differentialen \(dw_n\) erster Gattung (\(n = 1\), 2, 3,…). Jedes quadratisch integrierbare Differential von erster Gattung \(dw = du + i dv\) auf \(F\) läßt sich in der Gestalt \(dw ={\sum\limits_{n=1}^{\infty}}c_ndw_n\) mit den eindeutig bestimmten Koeffizienten \(c_n= (dw, dw_n)\) darstellen. Hierbei gilt \[ (dw,dw)={\iint\limits_{F}}\left(\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2+ \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right)\,dx\,dy= {\sum\limits_{n=1}^{\infty}}|c_n|^2<\infty \] Aus einer Basis \(dw_n\) erhält man jede andere durch eine unitäre Transformation und nur durch eine solche.
Den Schluß der Arbeit bilden Betrachtungen über die Tragweite der zugrunde gelegten Annahmen und Hinweise auf Anwendungen und Erweiterungen der Theorie.

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