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Sur l’intervalle de convergence dans la méthode de Cauchy-Lipschitz. (French) JFM 67.0307.01

Wohlbekannte oder sehr leicht zu beweisende Eigenschaften der Differentialgleichung \[ y'= f(x,y) \tag{1} \] und des Systems \[ y' = f(x,y,z),\quad z' = g(x,y,z).\tag{2} \] Zu (1): Ist \(f\) stetig, so läßt sich jede Integralkurve bis an den Rand des Stetigkeitsbereiches fortsetzen. Vgl. hierzu Kamke, Differentialgleichungen reeller Funktionen (Leipzig 1930; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 375), 75-77; K. Mayrhofer, Mh. Math. Physik 41 (1934), 183-187 (F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 377).
Zu (2): Sind \(f\), \(g\) für \(x\geqq x_0\) und alle \(y\), \(z\) stetig, und gelten dort mit gewissen stetigen, nicht-negativen Funktionen \(a (x)\),…, \(f(x)\) die Ungleichungen \[ |f|<a|y| + b|z| + c,\quad |g|<d|y| + e|z|+f, \] so existiert jede von der Geraden \(x = x_0\) ausgehende Integralkurve in dem ganzen Intervall \(x_0\leqq x<\infty\).
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