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Sopra il problema di Nicoletti per i sistemi di equazioni differenziali ordinarie. (Italian) JFM 67.0322.03
Die Funktionen \(f_\nu (x,y_1,\ldots,y_n)\) (\(\nu = 1,\ldots, n\)) seien in dem Bereich \[ a\leqq x\leqq b,\;\;-\infty <y_1,\ldots,y_n<+\infty \] stetig in bezug auf \(y_1,\ldots,y_n\) und meßbar in bezug auf \(x\). Für \(n(n + 1)\) \(L\)-integrierbare Funktionen \(\gamma _{pq}(x)\geqq 0\) (\(p,q = 1,\ldots,n\)) und \(\psi _p(x)\geqq 0\) (\(p = 1,\ldots,n\)) sei \[ |f_p (x,y_1,\ldots,y_n)| \leqq \sum _{q=1}^n \gamma _{pq}(x)\,|y_q|\,+ \psi _p(x)\qquad (p=1,\ldots,n). \] Ferner sei \[ \sum _{p=1}^n \int\limits _a^b \gamma _{pq}(x)\,dx <1 \qquad (q = 1,\ldots,n)\tag{1} \] oder \[ \sum _{q=1}^n \int\limits _a^b \gamma _{pq}(x)\,dx <1 \qquad (p = 1,\ldots,n).\tag{2} \] Dann hat das System \[ y_\nu (x)=y_\nu (a) + \int\limits _a^x f_\nu (x,y_1,\ldots,y_n)\,dx\qquad (\nu = 1,\ldots,n) \] für beliebige Zahlen \(a_\nu \), \(b_\nu \) \((\nu = 1,\ldots,n)\) mit \(a\leqq a_\nu \leqq b\) wenigstens eine absolut stetige Lösung \(y_1(x),\ldots,y_n(x)\), für die \(y_\nu (a_\nu ) = b_\nu \) \((\nu = 1,\ldots,n)\) gilt.
Tatsächlich beweist Verf. den Satz unter weniger einschränkenden Bedingungen, als (1) und (2) sind; jedoch ist deren Fassung komplizierter. Bei dem Beweis werden die \(f_\nu \) durch Stieltjes-Polynome approximiert. Ein entsprechender Satz wird für Systeme von höherer als erster Ordnung bewiesen.

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Full Text: EuDML