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Asymptotische Abschätzung der Eigenwerte gewisser Differentialgleichungen zweiter Ordnung. (German) JFM 67.0325.01
Es sei \(\lambda _n\) der \(n\)-te Eigenwert von \(y'' + \lambda\varrho (x)\,y = 0\); die Randbedingungen seien \(y (a) = y(b) =0\) oder \(y'(a) = y'(b) = 0\). \(\varrho \) sei durchweg positiv und zweimal differenzierbar. Durch Diskussion einer Differentialgleichung für den “Phasenwinkel” \(\varphi =\) arg cotg \(\sqrt {\dfrac {y'^2}{-yy''}}\) wird bewiesen \[ \sqrt {\lambda _n} \int\limits _a^b \sqrt {\varrho (x)}\,dx - n\pi =O\,\Bigl(\frac {1}{n}\Bigr). \] Für den \(n\)-ten Eigenwert \(\lambda _n\) von \[ y'' + [p(x)+\lambda ]\,y = 0 \] (gleiche Randbedingungen wie oben, \(p(x)\) beschränkt und zweimal differenzierbar) gilt die schärfere Abschätzungsformel \[ \int\limits _a^b \sqrt {\lambda _n+p(x)}\,dx - n\pi =O\,\Bigl(\frac {1}{n^3}\Bigr). \]
Subjects:
Erster Halbband. D. Analysis. 10. Gewöhnliche Differentialgleichungen. d) Rand- und Eigenwertaufgaben.
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Full Text: EuDML