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Minimal positive harmonic functions. (English) JFM 67.0343.03

Eine positive, harmonische Funktion in einem beliebigen offenen Gebiet sei gegeben; gesucht wird eine Darstellungsformel, die die wesentlichen Eigenschaften der Poisson-Stieltjesschen Integralformel für den Kreis oder die Kugel besitzt (vgl. hierzu u. a.: A. J. Maria und Verf., Duke math. J. 2 (1936), 517-529; JFM 62.0554.*). Ist \(D\) das Gebiet, \(P_0\) ein beliebiger aber fester Punkt, so bildet Verf. den Quotienten \[ K(M,P) = G(M,P)/G(M,P_0), \] wo \(M\) und \(P\) Punkte von \(D\) sind und \(G (M, P)\) die verallgemeinerte Greensche Funktion ist. Wen nun \(M\) eine Folge von Punkten durchläuft, die in \(D\) keine Häufungsstelle besitzen, kann man eine solche Teilfolge auswählen, daß die entsprechenden \(K (M, P)\) gegen eine in \(D\) positive harmonische Funktion konvergieren. Eine solche Teilfolge nennt Verf. eine Fundamentalfolge und sagt, sie definiere ein ideales Randelement. Die Punkte von \(D\) nebst den idealen Randelementen \(\varDelta\) bilden einen Raum, dem man eine Metrik geben kann, derart, daß \(D + \varDelta\) vollständig und kompakt ist. Verf. beweist dann den folgenden Darstellungssatz: Zu jeder nichtnegativen harmonischen Funktion \(u(P)\) in \(D\) gibt es mindestens eine nicht-negative Massenbelegung \(\mu\) auf \(\varDelta\), so daß \[ u(P)=\int\limits_{\varDelta}K(M,P)d\mu (e_M), \] ist, wobei \(K (M, P)\) jetzt den Grenzwert von \(K (M_n, P)\) bedeutet, wenn \(M_n\) eine das Randelement \(M\) bestimmende Fundamentalfolge durchläuft. Verf. zerlegt weiter den Rand \(\varDelta\) in zwei Teile \(\varDelta_0\) und \(\varDelta_1\), wo \(\varDelta_1\) die Menge der Randelemente ist, für die der Kern \(K(M, P)\) eine sogenannte minimale harmonische Funktion ist. Es wird bewiesen, daß die obige Belegung \(\mu\) vollständig auf \(\varDelta_1\) gelegt werden kann, und wenn dies der Fall ist, ist die Darstellung von \(u(P)\) eindeutig. Die Arbeit schließt mit einigen lehrreichen Beispielen.

Citations:

JFM 62.0554.*
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