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Sur les fondements de la théorie du potentiel. (French) JFM 67.0346.03
Verf. unterwirft die Begründungen der Potentialtheorie einer kritischen Nachprüfung, die das Ziel hat, den inneren Nerv der Theorie darzulegen und den Mechanismus von beiliegenden und unwesentlichen Dingen zu befreien. Insbesondere werden die Eigenschaften des euklidischen Raumes nur so weit ausgenutzt, daß dieser Raum durch einen abstrakten Raum vom Typus einer lokal-kompakten Gruppe ersetzt werden kann. In einem solchen Raum wird eine Massenbelegung durch ein additives Funktional erklärt und das Volumenelement des euklidischen Raumes durch das Maß von Haar ersetzt. Es sei weiter \(\varepsilon_\alpha\) eine von einem Parameter \(\alpha\) stetig abhängende Verteilung, die u. a. der Kompositionsregel \[ [\varepsilon_\alpha, \varepsilon_\beta]=\varepsilon _{\alpha+\beta} \] gehorcht. Beispiele solcher Verteilungen sind bekanntlich die Normalverteilung von Gauß und die Verteilungen, die M. Riesz der Theorie der Riemann-Liouvilleschen Integrale zugrunde legt (Acta Litt. Sci. Univ. Szeged, Sect. Sci. math. 9 (1938), 1-42; JFM 64.0476.*). Das Potential \(U_\alpha^\mu (x)\) der Ordnung \(\alpha\) einer Verteilung \(\mu\) erklärt Verf. durch die Gleichung \[ [\varepsilon_\alpha, \mu]=U_\alpha^\mu (x)dx, \] wo \(dx\) das Haarsche “Maßelement” ist. Man kann nun auch das Energieintegral einer Verteilung definieren und die Fundamentalsätze über dessen Positivität und Nullwerden beweisen. Verf. beweist weiter den sehr bemerkenswerten Satz, daß die positiven Verteilungen endlicher Energie auf einer kompakten Menge einen vollständigen Raum bilden, wenn man ihr Normquadrat durch das Energieintegral erklärt. Auf diesem Satz beruht die Ausfegung (balayage) einer Masse; er wird weiter benutzt, um eine “kapazitive” Verteilung auf einer kompakten Menge zu erhalten, die zwar nur dann eine Gleichgewichtsverteilung wird, wenn das Maximumprinzip gültig ist.

Subjects:
Erster Halbband. D. Analysis. 12. Differentialgleichungen der mathematischen Physik. Potentialtheorie. b) Weiteres über Potentialfunktionen.
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Full Text: DOI Numdam EuDML