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Contributo alla sistemazione teorica del metodo variazionale per l’analisi dei problemi di propagazione. (Italian) JFM 67.0355.03
Picone hat (Rend. Accad. Sci. fis. mat., Napoli, (4) 6 (1936), 217-235; JFM 62.1330.*) ein Variationsverfahren angegeben, um die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik zu integrieren. Während man bisher dabei beschränkte Zeiten betrachtete (Manià, Ann. Scuola norm. sup. Pisa, Sci. fis. mat. (2) 9 (1940), 79-95; F. d. M. 66, 474 (JFM 66.0474.*)), faßt Verf. den Fall unbeschränkter Zeit ins Auge. Er bietet die Schwierigkeit dar, daß das \(\nu\)-te Mitglied in der Folge der Näherungen, die die Gleichungen des Vorgangs mit einem nullstrebigen mittleren quadratischen Fehler zu befriedigen gestattet, nicht vorhanden zu sein braucht. Ihr Vorhandensein kennzeichnet er durch folgende Bedingung: Es gibt mindestens eine \(n\)-falt von Funktionen \(\omega_i (t) \;(i = 1,\ldots, n)\), die mit ihren ersten Ableitungen in jedem beschränkten Zeitraum \((0, T)\) absolut stetig sind, \((A)\) mit diesen bei \(t= 0\) verschwinden und \((J)\) eine gewisse von den \(\omega_i, \omega_i', \omega_i'' \) abhängige Funktion \(f(t)\) nach \(t\) von 0 bis \(\infty\) integrierbar machen; \(f(t)\) ist der Integrand des als Integrals nach \(t\) aufgefaßten Funktionals \(\varOmega\) (siehe JFM 62.1331.*; die \(\omega_i\) hier entsprechen den \(\varPhi_{ki}\) dort), auf dessen Kleinstwert es ankommt. Zu (J) führt Verf. ein einfaches Gegenbeispiel an. Nach Angabe zweier hinreichenden Bedingungen des Zustandekommens einer Näherung im Mittel und Bemerkungen über die Gewichtsfunktionen zeigt er den Weg, die fortschreitenden Näherunge zu bestimmen; er stellt die Eulerschen Gleichungen auf und weist ihre Verträglichkeit mit den Bedingungen (A) nach.

Subjects:
Erster Halbband. D. Analysis. 12. Differentialgleichungen der mathematischen Physik. Potentialtheorie. e) Parabolische Differentialgleichungen. Wärmeleitung.
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Full Text: EuDML