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Studi su gli integrali doppi del calcolo delle variazioni. (Italian) JFM 67.0364.01
Verf. leitet in dieser Arbeit für positiv reguläre Variationsprobleme bei Doppelintegralen \[ I_D(z) = \iint\limits_D F(x,y,z,p,q)dx\,dy,\quad \biggl(p = \dfrac{\partial z}{\partial x}, q = \dfrac{\partial z}{\partial y}\biggr) \] Sätze von zweierlei Art ab: Einmal sind es Aussagen betreffs der Unterhalbstetigkeit solcher Integrale auf Gesamtheiten Lipschitzbeschränkter Funktionen \(z(x, y)\) mit derselben Lipschitzkonstanten. Hierbei stellt er einen Existenzsatz betreffs der Lösbarkeit des Randwertproblems in solchen Funktionenklassen bei vorgegebenen Lipschitzbeschränkten Randwerten auf, der sich auf folgendes Fortsetzungslemma stützt: Ist \(\varphi(x,y)\) eine auf einer beschränkten und abgeschlossenen Punktmenge \(\mathfrak M\) definierte Lipschitzbeschränkte Funktion, so läßt sie sich als Lipschitzbeschränkte Funktion in den ganzen Raum hinein fortsetzen.
Zum anderen handelt es sich um Existenzsätze des absoluten Minimums in kompakten Funktionenklassen der \(z (x, y)\) (die jetzt nicht Lipschitzbeschränkt zu sein brauchen), für welche als typisches Beispiel der folgende angeführt werden möge:
Satz: Das positiv reguläre \(I_D (z)\) möge den Bedingungen genügen:
a) für jedes \(\varrho, 0 < \varrho \leqq \varrho_0\) sollen drei Zahlen \(\mu_\varrho> 0, \alpha_\varrho > 0, M_\varrho\) so existieren, daß für alle endlichen Werte von \(z, p, q\) und alle Punkte \((x, y)\) aus \(D\) mit Ausnahme derjenigen \(x, y, z\), die in einem achsenparallelen Würfel \(A_\varrho\) der Kantenlänge \(2\varrho\) um \(P(x_0,y_0,z_0)\) als Mittelpunkt liegen, dessen Projektion auf die \(xy\)-Ebene ganz in \(D\) enthalten ist, die Ungleichung \[ F(x, y, z, p, q) >\mu_\varrho \{|p|^{2+\alpha_\varrho} +|q|^{2+\alpha_\varrho}\} + M_\varrho \] besteht;
b) für alle Punkte innerhalb des Würfels \(A_\varrho\) sollen für dieses \(\varrho\) drei Zahlen \(\nu_\varrho > 0\), \(0 < \beta_\varrho\leqq 1\), \(N_\varrho\) vorhanden sein, mit denen für alle endlichen \(p\) und \(q\) \[ F(x, y, z, p, q) > \nu_\varrho \{|p|^{1+\beta_\varrho}+ |q|^{1+\beta_\varrho} \} + N_\varrho \] richtig ist.
Dann existiert in jeder kompakten Klasse gleichmäßig beschränkter Funktionen \(z (x, y)\) das absolute Minimum von \(I_D(z)\).
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Full Text: EuDML