×

zbMATH — the first resource for mathematics

Normierte Ringe. (German) JFM 67.0406.02
Ein normierter Ring \(R\) ist ein (bzgl. des Körpers der komplexen Zahlen) linearer, normierter vollständiger Raum im Sinne von Banach, in dem eine Multiplikation erklärt ist, die ihn zu einem kommutativen Ring macht, in dem ein Einheitselement \(e\) vom Betrag 1 existiert und stets \(\| x\cdot y\|\leqq \| x\| \cdot \| y\|\) gilt., Ist \(R\) ein Körper, so ist \(R\) gleich dem Körper der komplexen Zahlen. Dies wird mit funktionentheoretischen Sätzen bewiesen. Eine Funktion \(x(\lambda )\), \(\lambda \) komplex, \(x\in R\), heißt analytisch in einem Bereich, wenn dort \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{x(\lambda +h)-x(\lambda )}{h}\) im Sinn der Konvergenz nach der Norm existiert. Die Sätze der gewöhnlichen Funktionentheorie übertragen sich auf diese Funktionen leicht, da für jedes lineare Funktional \(f(x)\) die Funktion \(f(x(\lambda ))\) analytisch im üblichen Sinn wird. Jedes Ideal von \(R\) ist in einem maximalen Ideal \(M\) enthalten, dessen Restklassenring \(R/M\) dem Körper der komplexen Zahlen isomorph ist. Jedem Element \(x\in R\) wird so die Funktion \(x(M)\) zugeordnet, wobei \(x(M)\) die komplexe Zahl ist, die die Restklasse von \(x\) in \(R/M\) darstellt. Ist \(x(M)\) nirgends Null, so besitzt \(x\) ein inverses Element. Die Funktion \(x(M)\) ist dann und nur dann identisch Null, wenn \(x\) im Durchschnitt aller maximalen Ideale von \(R\) liegt. Notwendig und hinreichend dafür ist, daß \(x\) ein verallgemeinertes nilpotentes Element ist, für das \(\root n\of{\|\,x^n\,\|}\to 0\) geht.
Die Menge \(\mathfrak M\) aller maximalen Ideale von \(R\) wird zu einem topologischen Raum, wenn man als eine Umgebung \(U(M_0)\) alle \(M\in\mathfrak M\) mit \(|\,x_i(M)-x_i(M_0)\,|<\varepsilon \), \(i = 1\),…, n, \(x_1\),…, \(x_n\) aus \(R\), einführt. \(\mathfrak M\) ist bikompakt und genügt den Hausdorffschen Axiomen, die \(x(M)\) sind stetig auf \(\mathfrak M\), also ist \(R\) homomorph in den Ring \(C(\mathfrak M)\) aller auf \(\mathfrak M\) stetigen Funktionen abgebildet. Diese Abbildung ist dann und nur dann eine Isomorphie, wenn \(R\) kein Radikal, d. h. keine verallgemeinerten nilpotenten Elemente, enthält. Ist \(R\) separabel, so ist \(\mathfrak M\) metrisierbar. Besitzt \(R\) eine endliche Anzahl von Erzeugenden, so ist \(\mathfrak M\) eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge des \(n\)-dimensionalen Raumes. Zwei normierte Ringe ohne Radikal, die algebraisch isomorph sind, sind auch stetig isomorph. \(R\) ist dann und nur dann direkte Summe von Idealen, die Ringe mit Einselementen sind, wenn \(\mathfrak M\) nicht zusammenhängend ist (\(R\) muß dabei aber mit \(x\) stets ein \(y\) enthalten, dessen Funktion \(y(M)\) konjugiert komplex zu \(x(M)\) ist). Untersuchungen über analytische Funktionen von Elementen des Ringes \(R\).

PDF BibTeX XML Cite