×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über verschiedene Methoden der Einführung der Topologie in die Menge der maximalen Ideale eines normierten Ringes. (German) JFM 67.0407.01
§ 1. Ein maximales Ideal \(M\) eines normierten Ringes \(R\) (vgl. die beiden vorstehenden Besprechungen) heißt Berührungspunkt der Untermenge \(\mathfrak A\) der Menge \(\mathfrak M\) aller maximalen Ideale aus \(R\), wenn es den Durchschnitt aller Ideale von \(\mathfrak A\) enthält. Die Gesamtheit aller Berührungspunkte von \(\mathfrak A\) bilde die Abschließung \(\overline{\mathfrak A}\) von \(\mathfrak A\). Dadurch wird \(\mathfrak M\) zu einem bikompakten \(T_1\)-Raum. § 2. \(S\) sei ein vollständig regulärer topologischer Raum (d. h. zu jeder abgeschlossenen Teilmenge \(A\) und einem nicht zu ihr gehörenden \(t\) gibt es eine stetige Funktion \(x(t)\) auf \(S\) mit \(x(A) = 0\), \(x(t)\neq 0\)). Im Ring \(C(S)\) aller reellen auf \(S\) stetigen Funktionen bilden die auf einem \(a\in S\) verschwindenden Funktionen ein Maximalideal \(M_a\). Die Zuordnung \(a\to M_a\) gibt eine Homöomorphie von \(S\) mit einem Teilraum von \(\mathfrak M\). Ist \(S\) bikompakt, so ist \(S=\mathfrak M\); im andern Fall setzen sich alle Funktionen \(x(t)\) aus \(C(S)\) stetig zu Funktionen auf \(\mathfrak M\) fort. \(\mathfrak M\) fällt mit der von Čech (Ann. Math., Princeton, (2) 38 (1937), 823-844; JFM 63.0570.*) konstruierten bikompakten Erweiterung \(\beta S\) zusammen. § 3 bringt eine Topologie von \(\mathfrak M\), die von der in § 1 eingeführten verschieden ist, aber mit der in den oben besprochenen Arbeiten eingeführten übereinstimmt. In § 4 werden Ringe \(C(S)\) betrachtet, die mit jedem \(x(t)\) auch ein \(y(t)\) enthalten, so daß die auf \(\mathfrak M\) erweiterte Funktion \(\overline{y}(M) = x(M)\) ist. Es wird bewiesen, daß jede auf \(\mathfrak M\) stetige Funktion Grenzwert im Sinne gleichmäßiger Konvergenz von erweiterten Funktionen \(x(M)\) ist. § 5 enthält neue Beweise von Sätzen von M. H. Stone (Trans. Amer. math. Soc. 41 (1937), 375-481, JFM 63.1173.*) über Ringe stetiger Funktionen und Ideale in ihnen.

PDF BibTeX XML Cite