On positive functionals on almost periodic functions. (English) JFM 67.0409.02

Krein, M.

C. R. Acad. Sci. URSS (2) 30, 9-12 (1941).

\(G\), \(\mathfrak P_G\), \(\mathfrak R_G\) haben dieselbe Bedeutung wie im vorstehenden Referat. Kennzeichnend für eine hermitesche Funktion \(\varphi (s)\,(\varphi (s^{-1})=\overline{\varphi (s)})\) ist die Entwickelbarkeit in eine absolut und gleichmäßig konvergente Reihe \(\varphi (s)=\sum \alpha _ku_k(s)\) nach Diagonalelementen \(u_k(s)\) von stetigen Darstellungen der Gruppe \(G\). Mittels \(\|\,\varphi \,\|=\sum|\,\alpha _k\,|\) bei hermiteschen Funktionen und einer naheliegenden Verallgemeinerung dieser Norm bei beliebigen Funktionen wird \(\mathfrak R_G\) ein normierter Ring \(\mathfrak R_G\) ist vollständig. Sei \(\varGamma _G\) die lineare Hülle der Gesamtheit der Elemente aller irreduziblen stetigen Darstellungen von \(G\), \(B_{G}\) die Gesamtheit aller stetigen fastperiodischen Funktionen über \(G\). \(\varGamma _G\) ist dicht in \(B_{G}\) nach der Norm \(\|\,\varphi \,\|=\sup|\,\varphi (s)\,|\). Hinreichend für die Positivität eines additiven homogenen Funktionais \(F(\varphi )\) über \(\varGamma _G\) ist bereits die Positivität aller \(F(|\,\varphi \,|^2)\) \((\varphi \in\varGamma _G)\). Ein additives stetiges Funktional \(q(\varphi )\) heißt elementar, wenn \(q(\overline{\varphi })=\overline{q(\varphi )}\) und \(q(\varphi \psi )=q(\varphi )\,q(\psi )\) ist. Die Menge \(Q_{G}\) aller elementaren Funktionale über \(G\) läßt sich als topologische Gruppe auffassen. \(Q_G\) ist eine bikompakte Gruppe. Bedeutet \(q_s(\varphi )\) das Funktional mit dem Wert \(q_s(\varphi )=\varphi (s)\), so ist die Abbildung \(s\to q_s\) eine stetige Homomorphie von \(G\) in eine stetige Untergruppe von \(Q_{G}\). Die Abbildung \(\varphi \to\varphi '\) mit \(\varphi '(q)=q(\varphi )\) ist eine isomorphe Abbildung von \(B_{G}\) in den Ring \(B_{Q}\) aller stetigen Funktionen über \(Q_{G}\).

Reviewer: Tautz, G., Prof. (Breslau)

JFM Section:

Ersrter Halbband. D. Analysis. 16. Funktionalanalysis. a) Lineare und Funktionenräume.