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Operator-theoretical treatment of Markoff’s process and mean ergodic theorem. (English) JFM 67.0417.01
Seit der Entstehung der Ergodentheorie haben sich zahlreiche Mathematiker bemüht, die Ergodensätze, besonders den Operatorensatz von v. Neumann, in verschiedenen Richtungen zu verallgemeinern. Unter diesen Verallgemeinerungen sind besonders diejenigen bemerkenswert, die darauf abzielen, den Ergodensatz für streng determinierte Prozesse und die Grenzwertsätze für zufällige Prozesse einer umfassenden Theorie unterzuordnen. Die vorliegende inhaltreiche Arbeit geht mehrere Schritte in dieser Richtung weiter. In der speziellen Behandlung der Markoffschen Prozesse schlägt sie die Richtung ein, die von Kryloff und Bogolioùboff in zwei grundlegenden Noten gewiesen wurde (C. R. Acad. Sci., Paris, 204 (1937); 1386-1388, 1454-1456; JFM 63.0502.*).
Der erste der beiden Teile, in die die Arbeit sich gliedert, ist der Aufstellung und dem Beweis zweier sehr allgemeiner Ergodensätze gewidmet. Zugrundegelegt wird ein linearer, metrischer Vektorraum \((B)\) im Sinne von Banach; \(x\), \(y\),…seien die Elemente, \(\|\,x\,\|\) sei die Länge (Norm) von \(x\). \(T\) sei ein linearer Operator, der \((B)\) auf sich oder einen Teil abbildet. Es wird ein für allemal vorausgesetzt, daß die Norm \(\|\,T\,\|\) von \(T\) kleiner oder gleich Eins ist, d. h. daß \(\|\,Tx\,\|\leqq \|\,x\,\|\) für jedes \(x\) gilt. Der erste Satz lautet folgendermaßen. Voraussetzung: Für jedes \(x\) ist die Folge \(Tx\), \(T^2x\), \(T^3x\),…schwach kompakt (in der Arbeit wird weniger verlangt). Behauptung: \(\dfrac{1}{n}\sum\limits_{1}^{n}T^ix\to x_1=T_1x\) stark; \(T_{1}\) ist ein Projektionsoperator, \(TT_1 = T_1T=T_1^2=T\). Die Voraussetzung ist trivialerweise erfüllt, wenn die Einheitskugel \(\|\,x\,\|\leqq 1\) von \((B)\) schwach kompakt ist, z. B. wenn \((B)\) ein Funktionenraum \(L^p(p>1)\) ist. Aber auch der Raum \(L^1\), der hierin eine Sonderstellung einnimmt, wird unter besonderen Voraussetzungen erfaßt. Wird z. B. \(T\) durch eine Isometrie eines Punktraumes \(\varOmega \) erzeugt, und ist \((B)\) der Raum aller über \(\varOmega \) summierbaren Funktionen, so ist die Kompaktheitsvoraussetzung erfüllt (gleichmäßige Integrierbarkeit der transformierten Funktionen \(T^ix\), F. Riesz).
Der Satz läßt sich unmittelbar verallgemeinern, wenn man statt \(T\) den Operator \(\dfrac{1}{\lambda }T\) betrachtet, \(\lambda =\) komplexe Zahl mit \(|\,\lambda \,|=1\). Statt des obigen \(T_{1}\) erhält man dann den Projektionsoperator \(T_{\lambda }\), welcher \((B)\) auf den zu \(\lambda \) gehörigen Eisenraum (Elemente erfüllen \(Tx = \lambda x\)) abbilden. Es ist \(T_\lambda T_\mu =0\), \(\lambda \neq \mu \), \(|\,\lambda \,|=|\,\mu \,|=1\). \(\lambda \) heißt Eigenwert von \(T\), wenn jener Raum nicht nur aus der Null besteht. Setzt man \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill T=\textstyle \sum\limits_{1}^{k} \lambda _iT_{\lambda _{ i}}+S,\hfill} \] wo \(\lambda _1\),…, \(\lambda _k\) Eigenwerte von \(T\) sind, so hat \(S\) dieselben Eigenwerte \(\lambda \neq 0\) (und Eigenelemente) wie \(T\) mit Ausnahme der angegebenen. Es ist \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(2)} \hfill T^n=\textstyle \sum\limits_{1}^{k} \lambda _i^nT_{\lambda _{ i}}+S^n.\hfill} \]
Mehr läßt sich kaum aussagen, wenn man von \(T\) nicht mehr als schwache Vollstetigkeit fordert. Wenn diese Voraussetzung für die Ergodentheorie der streng determinierten Prozesse weit genug ist, so ist sie für die Ergodentheorie der Markoffschen zufälligen Prozesse viel zu weit. Unter der (für diese Prozesse genügend weiten) Voraussetzung der starken Vollstetigkeit von \(T\) (\(T\) bildet \(\|\,x\,\|\leqq 1\) auf eine stark kompakte Teilmenge von \((B)\) ab) beweisen Verf. nun eine wichtige neue Verschärfung des obigen Ergodensatzes (uniform ergodic theorem): Es gibt nur endlich viele Eigenwerte \(\lambda _1\),…, \(\lambda _k\) von \(T\) mit \(|\,\lambda \,|=1\); sie sind von endlicher Vielfachheit. Vom Restoperator \(S\) in (1) gilt zusätzlich \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(3)} \hfill \lim_{n=\infty } \|\,S^n\,\|=0\hfill} \] (es folgt hieraus von selbst, daß die Normen wie die Glieder einer geometrischen Reihe nach Null gehen). Übrigens wird der Satz unter der schwächeren Voraussetzung \((K)\) bewiesen: Es gibt ein natürliches \(m\) und einen stark vollstetigen Operator \(V\), so daß \(\|\,T^m-V\,\|<1\) gilt. Diese Voraussetzung wurde von Kryloff und Bogolioùboff in ihren Arbeiten über Markoffsche Prozesse zugrundegelegt.
Der zweite Teil ist den diskreten Markoffschen Prozessen gewidmet. Mit \(s\), \(t\),…seien die Punkte eines Raumes \(\varOmega \) bezeichnet, mit \(A\), \(B\), \(E\),…die Teilmengen, welche einem Borelschen Mengenkörper angehören. \(P(t, E)\) sei die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Punkt \(t\) nach dem Übergang in die Menge \(E\) fällt (\(P\geqq 0\), \(P(t, \varOmega ) = 1\)). Der Übergang soll von den vorangegangenen Übergängen unabhängig sein. \(P\) sei Borel-meßbar in \(t\), absolut additiv in \(E\). \(P\) wird als Kern des linearen Operators \[ y=Tx:\;\;y(E)=\int\limits_{\varOmega }P(t, E)x(dt) \] im Banachraum \((M)\) der absolut additiven Mengenfunktionen \(x(E)\) mit, der Norm \(\|\,x\,\|=\) totale Variation von \(x(E)\) aufgefaßt. Es ist \(\|\,T\,\|=1\). Der Kern des iterierten Operators \(T^n\) ist die Wahrscheinlichkeit \(P^{(n)}(t, E)\) für den \(n\)-fach wiederholten Übergang.
Von \(T\) wird das Erfülltsein der Voraussetzung \((K)\) gefordert. Der umfassende Charakter dieser Voraussetzung wird in besonderen Untersuchungen dargetan. Z. B. ist \((K)\) erfüllt, wenn \(P(t, E)\) bezüglich eines festen endlichen Maßes \(m(E)\) in \(\varOmega \) eine in \(t\), \(s\) stetige Dichte \(p(t, s)\) hat. Die Stetigkeit läßt sich durch weitere Voraussetzungen ersetzen. Von Wichtigkeit ist, daß auch der Fall eines Markoffschen Prozesses mit endlich vielen Zuständen (Wahrscheinlichkeiten \(p_{ik}\); \(i\), \(k = 1\),…, \(n\), \(\sum\limits_{k}p_{ik}=1\)) miterfaßt wird.
Aus dem scharfen Ergodensatz folgt zunächst die Existenz von \[ \lim_{n=\infty }\frac{1}{n}\textstyle \sum\limits_{1}^{n}P^{(i)}(t, E)=P_1(t, E) \] gleichmäßig in \(t\), \(E\); der Fehler geht wie \(c/n\) nach Null. \(P_{1}\) ist Kern des Operators \(T_1\). \(P_1(t, E)\not\equiv 0\). \(\lambda =1\) ist also Eigenwert von \(T\). – Verf. benutzen zusammen mit \(T\) auch den adjungierten Operator \[ y=T^{\ast}x:\;\;y(t)=\textstyle \int\limits_{\varOmega }x(s)P(t, ds) \] im Banachraum (\(M\)*) der beschränkten Punktfunktionen \(x(t)\) mit der Norm \(\|\,x\,\|=\) ob. Gr. \(|\,x(t)\,|\). Es ist \(\|\,T^{\ast}\,\|=1\). \(T\)* wurde von Kryloff-Bogolioùboff eingeführt. Durch Anwendung des scharfen Ergodensatzes und durch Ausnützung der Positivität von \(P\) leiten Verf. die grundlegende Bilinearformel von Kryloff-Bogolioùboff für den Grenzkern \(P_1(t, E)\) her.
Die Bilinearformel zieht zahlreiche Konsequenzen bezüglich des Grenzverhaltens des Prozesses nach sich, die grob folgendermaßen ausgesprochen werden können. \(\varOmega \) zerfällt in endlich viele Teile \(E_1\),…, \(E_{l}\), \(A\) mit folgenden Eigenschaften. Jeder Teil \(E_{i}\) geht nach einem Übergang fast sicher in sich selbst über (Invarianz). Es besteht ferner eine Art Unzerlegbarkeit der Teile \(E_i\); Verf. nennen sie ergodische Kernmengen. Jeder Punkt von \(A\) geht jedoch nach vielen Übergängen fast sicher in \(\sum E_i\) über (dissipativer Teil).
Diese Dinge beruhen, wie gesagt, auf dem konsequenten Studium des Eigenwertes \(\lambda =1\) des Operators \(T\). In ähnlicher Weise untersuchen nun Verf. die anderen Eigenwerte \(\lambda _i\) vom Betrage Eins. Sie zeigen, daß sie Einheitswurzeln sind. Daraus ergibt sich mit Hilfe ähnlicher Bilinearzerlegungen eine weitere Unterteilung jeder ergodischen Kernmenge in endlich viele, bei den aufeinander folgenden Übergängen zyklisch durchlaufene Teile.

Citations:
JFM 63.0502.*
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