Representation of ergodic flows. (English) JFM 67.0421.01

Ambrose, W.

Ann. Math., Princeton, (2) 42, 723-739 (1941).

\(\varOmega \)* sei ein Raum mit den Punkten \(P\)*; \(m\)* ein absolut additives Maß in ihm, \(0<m^{\ast}(\varOmega ^{\ast})<\infty \). \(S_tP\)* sei eine beliebige \(m\)*-treue und (\(P\)*, \(t\))-meßbare Strömung in \(\varOmega \)*. Verf. beweist unter der (unwesentlichen) Voraussetzung, daß die Strömung ergodisch ist, daß die Strömung im maßtheoretischen Sinne einer Strömung von folgendem Typus isomorph ist. Man geht, um eine Strömung von diesem Typus zu erklären, von einem Raum \(\varOmega \) mit den Punkten \(P\) und mit einem absolut additiven Maß \(m\), ferner einer \(m\)-treuen Abbildung \(T\) von \(\varOmega \) auf sich, und schließlich einer \(m\)-summierbaren Funktion \(f(P) > 0\) aus. \(\varOmega \)* sei der Raum der Punkte \(P^{\ast} = (P, x)\) mit \(0\leqq x\leqq f(P)\). Man definiert \(S_tP^{\ast}=(P,x+t)\), bis \(x + t = f(P)\) wird; dann wird der Punkt \((P, f(P))\) durch den Punkt \((TP, 0)\) ersetzt. \(dm^{\ast} = dmdx\) ist \(S_t\)-invariant. – Um die ursprüngliche Strömung \(S_tP\)* im gegebenen Raume \(\varOmega \)* als Strömung der betrachteten speziellen Art darzustellen, geht man von folgendem sehr einfachen Gedanken aus. Man identifiziert \(\varOmega \) mit einer “Schnittfläche” in \(\varOmega \)*, d. h. einer Menge, die von jeder Bahnkurve in Vergangenheit und Zukunft unendlich oft geschnitten wird; die entsprechenden \(t\)-Werte sollen auf der \(t\)-Achse stets eine divergente Folge bilden. Eine solche Menge \(\varOmega \), die natürlich noch Meßbarkeitsforderungen erfüllen muß, kann man auf unendlich viele Arten gewinnen. Ist nun \(P\) ein Punkt von \(\varOmega \) und \(\overline{t}=\overline{t}(P)\) der kleinste positive \(t\)-Wert, so daß \(S_{\overline{t}}(P)\subset\varOmega \) liegt, so setze man \(T(P) = S_{\overline{t}}(P)\) und \(f(P)=\overline{t}(P)\). Das \(m\)-Maß auf \(\varOmega \) wird leicht aus \(m\)* gewonnen.

Reviewer: Hopf, E., Prof. (Leipzig), [ZBL]

JFM Section:

Erster Halbband. D. Analysis. 16. Funktionalanalysis. c) Ergodensätze.