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On the stability of the linear functional equation. (English) JFM 67.0424.01
Eine Transformation \(f(x)\) eines Banachraumes \(E\) auf einen anderen \(E'\) heißt \(\delta \)-linear, wenn für alle \(x\), \(y\in E\) gilt \(\|\,f(x+y)-f(x)-f(y)\,\|<\delta \). Dann existiert \(l(x)=\lim 2^{-n}f(2^nx)\) für jedes \(x\in E\) und ist linear, und es gilt \(\|\,f(x)-l(x)\,\|\leqq \delta \) für jedes \(x\in E\). \(l(x)\) ist die einzige lineare Transformation, die diese Ungleichung erfüllt. - Ist \(f(x)\) in mindestens einem Punkte stetig, so ist \(l(x)\) in ganz \(E\) stetig.

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