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Nouvelle démonstration et généralisation d’un théorème du calcul des probabilités dû à Simmons. (French) JFM 67.0455.04

Aus einer Urne, die \(a\) schwarze und \(b\) weiße Kugeln \((a > b)\) enthält, werden \(n = N(a+b)\) Ziehungen unter Zurücklegung der gezogenen Kugel in die Urne gemacht. Dabei sei \(S\) die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln, deren Erwartungswert \(Nb\) ist. Dann gilt nach T. C. Simmons: Werden die Wahrscheinlichkeiten der Ungleichungen \(S < Nb\) und \(S > Nb\) mit \(P\) bzw. \(Q\) bezeichnet, so ist \(P > Q\), und für hinreichend großes \(N\) ist die Differenz \(\varDelta = P - Q\) näherungsweise durch \({\frac{1}{3}}(a-b)(2\pi nab)^{-\frac{1}{2}}\) gegeben, sofern der Erwartungswert \(Nb = np\) eine ganze Zahl ist (\(p\) ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen). Für diesen Satz wird in Kap. I und II ein neuer Beweis gegeben.
In Kap. III befreit sich Verf. von dieser Einschränkung, so daß der Satz für die \(n\)-malige Wiederholung eines Alternativversuchs mit beliebigen Grundwahrscheinlichkeiten \(p\) und \(q=1-p\) (mit \(q > p\)) ausgesprochen werden kann. \(m\) bezeichne den ganzzahligen Anteil in \(np\), es sei also \(m = np - s\) mit \(0\leqq s < 1\). Der asymptotische Wert von \(\varDelta \) ist in diesem Falle \[ \varDelta _s=\frac{q-p-6s}{3\sqrt{2\pi \,npq}}+O\bigl(n^{-\frac{3}{2}}\bigr),\quad0\leqq s<\frac{q-p}{6}, \] was für \(s=0\) und \(p=\dfrac{b}{a+b}\), \(q=\dfrac{a}{a+b}\) in obiges Ergebnis übergeht.
Vgl. Verf., Giorn. Ist. Ital. Attuari 10, 229-243; JFM 65.0561.*.

Citations:

JFM 65.0561.*
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