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Sur certaines composantes des lois de Cauchy. (French) JFM 67.0466.02

Der Cramér-Raikoffsche Satz, nach welchem das Gaußsche bzw. Poissonsche Verteilungsgesetz nur in ebensolche Faktorengesetze zweier unabhängigen Zufallsveränderlichen zerlegt werden kann, läßt sich – wie das Beispiel des Cauchyschen Verteilungsgesetzes mit der Dichten- bzw. charakteristischen Funktion \([\pi (1+x^2)]^{-1}\) bzw. \(e^{-|t|}\) zeigt – nicht auf stabile, d. h. mit ihren charakteristischen Funktionen der Gleichung \(\varphi (c_1t)\varphi (c_2t)=\varphi (ct)\) genügende Verteilungsgesetze verallgemeinern. Bei \(h(t)=\lambda (\cos\, t-1)\) oder \(\lambda \,\sin\, |\,t\,|\) mit \(\lambda <1/3\) sind nämlich \(\varphi (t)=e^{-|\,t\,|\pm h(t)}\) als gerade Funktionen mit \(\varphi '(t)<0\) und \(\varphi ''(t)>0\) für \(t\geqq 0\) nach einem Satz von Pólya charakteristische Funktionen zweier, offenbar nicht stabilen Faktorengesetze. Der Satz über die Gaußsche Verteilung ergibt so \(h(t)=-at^2/2\) mit \(0 < a < 1\) als einzige reelle Funktion, die für \(t\geqq 0\) den Ungleichungen \[ -t\pm h'(t)<0\;\;\text{und}\;\;-1\pm h''(t)+[-t\pm h'(t)]^2>0 \] genügt.
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