Riemannian manifolds with positive mean curvature. (English) JFM 67.0673.01

Myers, S. B.

Duke math. J. 8, 401-404 (1941).

Verf. betrachtet einen Riemannschen Raum \(R_n\) dritter Klasse mit positiv definitem Fundamentaltensor, welcher die Eigenschaft hat, daß die mittlere Krümmung \(R_{ij}i^{i}i^{j}\) in bezug auf die Richtung \(i^h\) in jedem Punkt für jede Richtung \(i^h\) größer als \(e^2\) ist. Es wird bewiesen, daß eine geodätische Kurve \(PQ\) mit einer Bogenlänge größer als \(\pi (n - 1)^{\tfrac 12}e^{-1}\) nicht die kürzeste Verbindungslinie sein kann. Wird überdies die Vollständigkeit von \(R_n\) vorausgesetzt, so existiert für jedes Punktepaar \(P\), \(Q\) eine kürzeste Verbindungslinie, die zugleich geodätisch ist, und es folgt die Geschlossenheit der Mannigfaltigkeit.

Reviewer: Haantjes, J., Dr. (Leiden)

JFM Section:

Erster Halbband. F. Geometrie. 8. Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Übertragungen. c) Riemannsche Räume.