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Isoperimetrische Ungleichungen für Bereiche auf Flächen. (German) JFM 67.0697.02
Aufstellung und Beweis einer isoperimetrischen Ungleichung für Bereiche auf Flächen unter sehr allgemeinen Bedingungen für diese Flächen. Die Hauptungleichung lautet: \[ L^2 - 4\pi F + 2\int\limits_{D(P)>D(Q)}K(P)\, \dot{P} \dot{Q} \geqq 0. \tag{1} \] Dabei sind \(L\) die Länge des Randes \(C\) des betreffenden Bereiches \(B\) und \(F\) dessen Inhalt. Ferner bedeuten in dem vierfachen Integral \(\dot{P}\), \(\dot{Q}\) die Punktdichten zweier beliebiger Punkte von \(B\), \(K (P)\) die Gaußsche Krümmung von \(B\) in \(P\) und \(D (P)\) bzw. \(D (Q)\) die Entfernungen von \(P\) bzw. \(Q\) vom Rande \(C\).
Das Gleichheitszeichen steht in (1), falls es in \(B\) einen Punkt \(M\) gibt, von der Art, daß alle Punkte von \(C\) von \(M\) dieselbe Entfernung besitzen.
Die Ungleichung geht im Falle einer Fläche konstanter Krümmung \(K\) (\(K \gtrless 0\)) in die isoperimetrische Ungleichung \[ F (4\pi - FK)\leqq L^2 \tag{2} \] über, die für \(K > 0\) zuerst von F. Bernstein (Math. Ann., Leipzig, 60 (1905), 117-136; F. d. M. 36, 432 (JFM 36.0432.*)) und für \(K < 0\) von Erhard Schmidt (Math. Z. 46 (1940), 743-794; F. d. M. 66) bewiesen wurde. Zum Beweis von (1) benutzt Verf. einen Gedanken von Kaluza, wonach, an Stelle der gewöhnlichen Parallelbereiche eines konvexen Bereiches nach außen, Parallelbereiche nach innen gebildet werden. Die Definition solcher Bereiche kann auf folgende Weise gegeben werden: Es sei \(D (P)\) das Minimum der Entfernung von \(P\) vom Rande \(C\) des betreffenden Bereiches \(B\). Der Parallelbereich \(B(\lambda )\) in der Entfernung \(\lambda > 0\) ist dann diejenige Punktmenge (innerhalb \(B\)), für welche \(D (P) \geqq \lambda\) gilt. Läßt man \(\lambda\) von Null aus wachsen, so gibt es ein \(\lambda = h > 0\), so daß \(B (h)\) keine inneren Punkte mehr besitzt. Dieser letzte Bereich heißt der “Kern” von \(B\) und spielt in der ganzen Beweismethode eine wichtige Rolle.
Nachdem die Ungleichung (1) zuerst für konvexe Bereiche bewiesen ist, kann sie auch durch einige umständliche Rechnungen für ziemlich allgemeine Bereiche bewiesen werden. Interessant und besonders sinnreich ist die Durchführung des “Einzigkeitsbeweises”, nämlich die Feststellung derjenigen Gebiete, für die in (1) das Gleichheitszeichen steht. Leider läßt sich hier der Gang dieser Rechnungen nicht kurz wiedergeben.

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Full Text: EuDML