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A classification of mappings of the three-dimensional complex into the two-dimensional sphere. (English) JFM 67.0736.01

Auf Grund der in der vorangehend besprochenen Arbeit des Verf. eingeführten Begriffe und Sätze werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür angegeben, daß zwei stetige Abbildungen eines 3-dimensionalen Simplizialkomplexes \(K^3\) in die 2-dimensionale Sphäre \(\Sigma^2\) äquivalent sind, d. h. sich stetig ineinander deformieren lassen. Zunächst werden Abbildungen der 3-dimensionalen Sphäre \(\Sigma^3\) in die 2-dimensionale Sphäre \(\Sigma^2\) betrachtet. Deren Äquivalenz wird charakterisiert mit Hilfe einer von H. Hopf (Math. Ann., Berlin, 104 (1931) 637-665; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 725) stammenden Invariante \(\omega_1\) welche mit der Verschlingungszahl der Urbilder zweier Punkte von \(\Sigma^2\) in \(\Sigma^3\) gebildet ist. Zwei äquivalente Abbildungen \(f\) und \(g\) von \(K^3\) in \(\Sigma^2\) lassen sich so deformieren, daß sie in dem 2-dimensionalen Komplex \(K^2\) aller höchstens 2-dimensionalen Simplizes von \(K^3\) übereinstimmen. Zwei Abbildungen \(f\) und \(g\), die in \(K^2\) übereinstimmen, werden ein 2-dimensionaler \(\nabla\)-Zyklus \(\omega_0 (f, K^2) = \omega_0 (g, K^2)\) und ein 3-dimensionaler \(\nabla\)-Zyklus \(\omega_1(f, g, K^3)\) zugeordnet. Sie sind dann und nur dann äquivalent, wenn es in \(K^3\) einen eindimensionalen Zyklus \(x\) gibt, so daß \(\omega_1(f, g, K^3)\) \(\nabla\)-homolog zu dem Produkt \(2x\times \omega_0 (f, K^2)\) wird. Diese Bedingung wird in dem Falle, daß \(K^3\) eine orientierbare Mannigfaltigkeit ist, noch weiter untersucht. Anschließend werden einige in gleicher Richtung liegende Bemerkungen über Abbildungen 4-dimensionaler Komplexe in die 2-dimensionale Sphäre gemacht.

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