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Petits mouvements à courte période et petits mouvements amortis d’une masse tournante composée d’un liquide homogène et d’un noyau solide immergé. (French) JFM 67.0882.02

Es sei eine aus einem festen Kern und umgebender homogener, inkompressibler Flüssigkeit bestehende Konfiguration bekannt, die sich bezüglich eines mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) rotierenden Achsenkreuzes \((x, y, z)\) im relativen Gleichgewicht befindet. Dieser Körper wird einem kleinen Störfeld unterworfen, dessen Kräftefunktion sich in der Form \[ \mathfrak R[\mathfrak V(x,y,z)e^{i\lambda t}]\quad (\mathfrak V=\mathfrak V_1+i\mathfrak V_2; \;\lambda=\lambda_1+i\lambda_2; \;t \;\text{die Zeit}; \;\mathfrak R = \;\text{Realteil}) \] darstellen läßt. Es werden diejenigen “kleinen” Bewegungen des Körpers gesucht, bei denen die Koordinaten jedes Teilchens bis auf Glieder höherer Ordnung die Gestalt \(a + \mathfrak R(be^{i\lambda t})\) haben (\(a\), \(b\) von \(t\) unabhängig, \(b\) von erster Ordnung klein). – Zunächst wird das Problem nach É. Cartan (Bull. Sci. math. 46 (1922); 317-352, 356-369; F. d. M. 49, 750 (JFM 49.0750.*)) auf die Bestimmung einer gewissen, von erster Ordnung kleinen Funktion \(\psi\) zurückgeführt, die in dem der Gleichgewichtslage entsprechenden Flüssigkeitsbereiche \(D\) die (Poincarésche) Gleichung \[ \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}+ \left(1-\frac{4\omega^2}{\lambda^2}\right) \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}=0 \] und auf den beiden Randflächen \(S\) gewisse weitere Bedingungen erfüllen muß; überdies sind noch aus einem (u. a. auch \(\psi\) enthaltenden) linearen Gleichungssystem sechs Konstante zu bestimmen. Der Fall: \(\lambda\) reell mit \(\lambda^2\leqq 4\omega^2\) wird ausgeschlossen. – Alsdann wird ausführlich und unter Benutzung von Resultaten des Verf. aus J. Math. pur. appl. Paris, (9) 18 (1939), 111-143 (F. d. M. 65, 1277 (JFM 65.1277.*)) die Gleichung \[ \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}\cos^{-2}\mu-k^2\psi=f \] mit der Randbedingung \[ \alpha\frac{\partial\psi}{\partial x}+\beta\frac{\partial\psi}{\partial y}+ \gamma\frac{\partial\psi}{\partial z}\cos^{-2}\mu+ \left(\beta\frac{\partial\psi}{\partial x}-\alpha \frac{\partial\psi}{\partial y}\right)\operatorname{tg}\mu=\varphi \] (\(f\) in \(D\), \(\varphi\), \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) auf \(S\) gegeben; \(\mu=\mu_1+i\mu_2\), \(|\mu_1|<\dfrac\pi2\); \(k>0\), reell) untersucht; die (einzige) Lösung läßt sich mit Hilfe einer Greenschen Funktion explizit angeben. – Das Problem der kleinen Schwingungen führt so auf ein System zweier Fredholmscher Integralgleichungen nebst einem linearen Gleichungssystem. Diese Systeme sind schließlich insgesamt einem weiteren linearen Gleichungssystem für gewisse Konstante äquivalent, das im Falle freier Bewegungen (\(\mathfrak V = 0\)) homogen ist. Es zeigt sich, daß für gewisse \(\lambda\)-Werte die Determinante verschwinden kann und somit gewiß freie Bewegungen existieren. Diese \(\lambda\)-Werte sind reell und können sich nur in dem (ausgeschlossenen) Intervall \(- 2\omega\leqq\lambda\leqq 2\omega\) häufen.
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Full Text: DOI Numdam EuDML