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Sur l’invariant intégral de l’hydrodynamique relativiste. (French) JFM 67.0919.01
Diese Arbeit behandelt die relativistische Hydrodynamik. Der Fundamentaltensor der Raum-Zeit-Welt \(g_{\alpha\beta}\) genügt der Einsteinschen Gleichung \(G_{\alpha\beta} =\chi T_{\alpha\beta}\), wo \(T_{\alpha\beta}\) gleich \(\varrho u_\alpha u_\beta-pg_{\alpha\beta}\) gesetzt wird. Eine derartige Flüssigkeit wird vollkommen genannt. Es wird weiter angenommen, daß \(\varrho\) eine Funktion von \(p\) allein ist. In diesem Falle ist \(Y_\beta=\varrho^{-1}\partial_\beta p\) ein Gradientvektor (\(Y_\beta=\partial_\beta\log F\)). Es wird bewiesen, daß die Stromlinien die Extremalen des Variationsproblems \(\delta\int F\,ds=0\) sind. Das Integral \(\iint \partial_{[\alpha}Fu_{\beta]} \delta\varkappa^\alpha\delta\varkappa^\beta\) über ein Gebiet \(G\) ändert sich nicht, wenn man die Punkte von \(G\) längs den Stromlinien verschiebt. \(\varOmega_{\alpha\beta}=\partial_{[\alpha} Fu_{\beta]}\) hat den Rang 0 oder 2. Im ersten Falle heißt die Strömung rotationsfrei. \(\varOmega_{\alpha\beta}\) habe den Rang 2. Der zu \(u^\alpha\) senkrechte Vektor \(\theta^\alpha\), für den \(\varOmega_{\alpha\beta}\theta^\beta=0\) ist, heißt Wirbelvektor. Es wird gezeigt, daß die Zirkulation des Stromvektors \(Fu_\alpha\) um jeden Querschnitt einer Wirbelröhre denselben Wert besitzt. Mehrere Sätze betreffs der Wirbellinien werden abgeleitet. Die Strömung der Flüssigkeit wird permanent genannt, wenn das Bezugssystem derart gewählt werden kann, daß \(F\) und \(g_{\alpha\beta}\) zeitunabhängig sind. Für permanente Bewegungen wird das relativistische Gegenstück der Bernoullischen Gleichung abgeleitet. Es lautet \(F^2g_{44}(1+(u)^2) = \text{const}\) längs einer Stromlinie. Dabei ist \(u\) die Länge des dreidimensionalen Vektors \(u^i\) (\(i = 1, 2, 3\)).

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Full Text: DOI Numdam EuDML