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Forze non conservative nella meccanica quantistica. (Italian) JFM 67.0923.02
Es seien \(q_k\) die Koordinaten, \(T\) die kinetische Energie, \(V\) die (negative) potentielle Energie und \(F_k(q, \dot q, t)\) die Komponenten einer nichtkonservativen Kraft. Dann gelten die Bewegungsgleichungen \[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot q_k}\right)\frac{\partial T}{\partial q_k}= \frac{\partial V}{\partial q_k}+F_k(q,\dot q,t). \tag{1} \] Man sucht eine Transformation \(\tau=\psi(t)\); \(dt=\varphi(t)d\tau\), welche die Gleichungen (1) auf die Form bringt: \[ \frac d{d\tau}\left(\frac{\partial T^*}{\partial \dot q^*_k}\right)\frac{\partial T^*}{\partial q_k}=\frac{\partial V^*}{\partial q_k}. \] Dabei ist \(\dot q_k^*=\dot q_k\cdot\varphi(t)=\dfrac{dq_k}{d\tau}\), \(T^*=T\cdot\varphi^2(t)\). Damit eine solche Transformation existiert, muß \(F_k\) die Gestalt \(F_k(q, \dot q, t)=f(t)\sum\limits_i a_{ik}\dot q_i\) besitzen und \(V^* = V\varphi^2(t)\) sein. Dann ist \(\varphi(t) = C_1 e^{-\int f(t)dt}\), \(\tau=C_1\int e^{-\int f(t)dt}dt+C_2\). Der Übergang zur Quantentheorie geschieht, indem man von \(L^* = T^* + V^*\) als Lagrangefunktion ausgeht und das übliche kanonische Verfahren anwendet: \[ p^*_r=\frac{\partial L^*}{\partial\dot q_r^*},\quad H^*(p^*,q^*)=\sum_r p^*_r\dot q_r^*-L^*. \] Man ersetzt \(p^*_r\) durch \(\dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\partial}{\partial q_r}\) und erhält die “Schrödingergleichung”: \(-\dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\partial\varPsi}{\partial\tau}=H\varPsi\). Als Beispiel wird ein Massenpunkt unter dem Einfluß der Kraft \(- Ke^{-2\lambda t}\cdot x-\lambda m\dot x\) betrachtet. Man findet \(\tau=\dfrac1\lambda(1-e^{-\lambda t})\), was auf den harmonischen Oszillator führt.

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