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Leçons sur le calcul des coefficients d’une série trigonométrique. I: La différentiation seconde mixte et son application aux séries trigonométriques. II: Métrique et topologie d’ensembles parfaits et de fonctions. III: Détermination d’une fonction continue par ses nombres dérivés seconds généralisés extrêmes finis. (French) JFM 67.1004.02
XIV + 84 p., p. 85-228, 229-326. Paris, Gauthier-Villars (Collection de monographies sur la théorie des fonctions, publiée sous la direction de É. Borel) (1941).
Die berühmten Fourierschen Formeln, durch die man die Koeffizienten einer Fourierreihe aus den Werten \(f(x)\) der Summe der Reihe berechnen kann, sind anwendbar, falls \(f\) im Lebesgueschen Sinne integrierbar ist (Lebesgue, de La Vallée-Poussin). Es gibt aber sehr einfache überall konvergente Fourierreihen, deren Summe im Sinne von Lebesgue sogar im Sinne des Verf. nicht integrierbar ist. Wenn man die Koeffizienten einer Fourierreihe mit einer vorgegebenen Summe allgemeinster Art berechnen will, entsteht die Notwendigkeit, ein neues vom Verf. erfundenes Verfahren (C. R. Acad. Sci., Paris, 172 (1921), 653-655, 833-835, 903-906, 1218-1221; 173 (1921), 127-129; 196 (1933), 237-239; F. d. M. 48, 302 (JFM 48.0302.*)-303, 1199; 59, 1011) anzuwenden, dessen ausführliche Darlegung vier Bändchen umfassen wird, von denen nur die drei ersten erschienen sind, die wir hier besprechen wollen. In der Tat gehen die verwendeten Mittel über den Rahmen der Fourierreihen hinaus und reichen an das Tiefste der Theorie der reellen Funktionen heran, wie es oft mit diesem Algorithmus der Fall ist.
I. Verallgemeinerte zweite Ableitung und ihre Anwendung auf Fourierreihen. – Das Problem wird zuerst auf die Integration einer verallgemeinerten zweiten Ableitung zurückgeführt mittels folgenden Satzes von Riemann: Wenn \[ \frac{a_0}2 +{\sum\limits_{n=1}^{\infty}}(a_n \cos nx + b_n \sin nx) \tag{I} \] eine Reihe darstellt, deren Koeffizienten mit \(\dfrac1n\) gegen Null konvergieren, dann konvergiert die durch zweimalige gliedweise Integration erhaltene Reihe gegen eine stetige Funktion \(F (x)\), die in jedem Konvergenzpunkt der Reihe (I) die Summe \(f(x)\) dieser Reihe als verallgemeinerte zweite Ableitung \[ \bigg( ={\lim\limits_{h\to0}}\frac1{h^2} [F(x - h) - 2F(x) + F(x + h)]\bigg) \] besitzt. Die Integration geschieht durch die Majoranten- und Minorantenmethode, wenn \(f\) summierbar (sogar ganz totalisierbar) ist.
Das zweite Kapitel behandelt die Differentialeigenschaften erster und zweiter Ordnung der Funktion \(F(x)\). Der Riemannsche Satz wird auf zwei Fälle verallgemeinerter Konvergenz der Reihe (I) gegen \(f(x)\) im betrachteten Punkt \(x\) erweitert, nämlich 1) wenn \({\lim\limits_{m\to\infty}}\dfrac1m{\sum\limits_{p=1}^{m}}|S_p(x) - f(x)|=0\) gilt, wobei \(S_p(x)\) die Summe \( \dfrac{a_0}2 +{\sum\limits_{n=1}^{p}}(a_n \cos nx + b_n \sin nx) \) bezeichnet (“convergence en moyenne absolue”); 2) wenn \({\lim\limits_{n\to\infty}} s_{1,n}(x)=f (x)\) gilt, wobei \(s_{1,n}(x)\) das Mittel \(\dfrac1n{\sum\limits_{p=1}^{n}} S_p(x)\) bezeichnet (einfache Cesàrosche Konvergenz) unter der zusätzlichen Bedingung, daß die Reihe \({\sum\limits_{n=1}^{\infty}}\dfrac1n|s_{1,n}(x)-f(x)|\) konvergiert.
II. Metrik und Topologie perfekter Mengen und Funktionen. – Einer Zusammenfassung der Grundbegriffe aus der Mengenlehre und besonders der Eigenschaften der linearen perfekten Mengen folgt im dritten Kapitel die Theorie des Index. Unter Index einer Linearmenge \(E\) in einem Häufungspunkt \(x\) versteht Verf. die kleinste Zahl \(\alpha\) mit \(\alpha\geqq1\), so daß es zu jeder Zahl \(\alpha'>\alpha\) eine Folge auf \(E\) liegender und von \(x\) verschiedener Punkte \(x+k_n\) gibt, die gegen \(x\) konvergiert, wenn \(n\) gegen \(\infty\) strebt, und den Ungleichungen \(1\leqq|k_r/k_{n+1}|<\alpha'\) genügt. Dieser Begriff (Verf., Verslag Akad. Wet. Amsterdam 29 (1920), 628-639; F. d. M. 47, 261 (JFM 47.0261.*)) spielt eine wichtige Rolle in seiner Integrationsmethode der verallgemeinerten zweiten Ableitungen; von ihm ausgehend werden die linearen perfekten Mengen in vier Klassen geteilt. Es wird dann folgender topologische Hauptsatz über die (nicht notwendig linearen) perfekten Mengen \(P\) angeführt: Bezeichnet \(F\) eine Familie offener Mengen \(\omega\) (im \(r\)-dimensionalen euklidischen Raum \(U_r\)), die alle \(P\) treffen, und stimmt die Häufungsmenge der Durchschnitte \(\omega\cdot P\) mit \(P\) überein, dann bilden die Punkte von \(P\), die unendlich vielen Mengen \(\omega\) angehören, eine auf \(P\) überall dichte Menge, die ein Residual von \(P\) ist. Das dritte Kapitel endet mit einem interessanten Vergleich zwischen dem Schlußverfahren von Baire über die Mengen erster Kategorie und dem von Poincaré über die Stabilität der Bahnen.
Im vierten Kapitel werden typische weitgehende funktionentheoretische Schlußverfahren hervorgehoben zuerst rein metrischen dann vorwiegend topologischen Charakters, die an Lebesguesche und besonders Bairesche Gedanken anknüpfen und häufig vom Verf. in seinen Untersuchungen benutzt wurden; Anwendungen auf die Konvergenz von Reihen, das Verhalten analytischer Funktionen, die ersten Ableitungen, die verallgemeinerten zweiten Ableitungen werden angegeben. Diese Schlußverfahren kommen bei der Aufstellung der Analytizitätsbedingungen für Funktionen komplexer Veränderlicher (Menchoff, Bull. Soc. math. France 59 (1931), 141-182; Math. Ann., Berlin, 109 (1933), 101-159; Fundam. Math., Warszawa, 25 (1935), 59-97; F. d. M. 57, 344 (JFM 57.0344.*); 59, 347; 61, 305), bei den Untersuchungen über die Verteilung der Typen des Deriviertenbündels (F. Roger, Acta math., Uppsala, 69 (1938), 99-133; F. d. M. 64, 703 (JFM 64.0703.*)), und vor allem bei der Integration der verallgemeinerten zweiten Ableitungen vor; hier wie bei der Totalisation (Verf., Ann. sci. École norm. sup. (3) 33 (1916), 127-222; 34 (1917), 181-236; F. d. M. 46, 382 (JFM 46.0382.*)) gestatten sie eine progressive Reduktion der Menge, auf welcher die Bestimmung der unbekannten Funktion noch nicht erreicht ist.
III. Bestimmung einer stetigen Funktion aus ihren verallgemeinerten endlichen zweiten Hauptableitungen. – Mit dem fünften Kapitel gehen wir in den eigentlichen Kern der Arbeit hinein. Die Methode der sukzessiven Symmetrien führt zu folgendem Ergebnis: Bis auf eine Nullmenge der Menge \(E\), wo die betreffenden Ableitungen endlich sind, besitzt \(F (x)\) eine erste Ableitung im klassischen Sinne \(F'(x)\), die ihrerseits eine approximative Ableitung \(F_{\text{\textit{o.a.}}}^{\prime\prime}(x)\) zuläßt, und \(F_{\text{\textit{o.a.}}}^{\prime\prime}(x)\) ist ein gewöhnlicher zweiter Differentialquotient von \(F (x)\). Dadurch kann bei der zweiten Integration die erste Ableitung als Zwischenstufe eintreten.
Im sechsten Kapitel löst Verf. gewisse Hilfsprobleme und gelangt dann leicht zur Berechnung der Urfunktion einer vorgegebenen zweiten Ableitung. Die neun Operationen, die zur Lösung dieser elementaren und grundlegenden Probleme führen, bestehen in Integrationen im Lebesgueschen Sinne, Grenzprozessen und Summierungen absolut konvergenter Reihen. Außerdem gelingt die Reduktion des allgemeinen Problems im folgenden Sinne: Ist das Problem auf der Komplementärmenge einer vorgegebenen beliebigen perfekten Menge \(P\) (aus irgendeiner der erwähnten vier Klassen) gelöst, und kennt man auf \(P\) die verallgemeinerte zweite Ableitung \(f(x)\), dann weiß man, das Problem auf der Komplementärmenge einer abgeschlossenen Menge zu lösen, die in \(P\) liegt und nicht dicht auf \(P\) ist. Um zur vollständigen Berechnung zu gelangen, genügt es dann, die einfachen Operationen in transfiniter Weise anzuwenden wie bei der einfachen Totalisation; die Durchführung bleibt einem noch nicht erschienenen 4. Bändchen vorbehalten.

Subjects:
Heft 7. D. Analysis. 5. Approximation reeller Funktionen. c) Fouriersche Reihen.