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Expansions of Appell’s double hypergeometric functions. II. (English) JFM 67.1017.01

Bezeichnungen und Abkürzungen wie in der Besprechung der ersten Arbeit der Verf. ((I), a. a. O., 11 (1940), 249-270); F. d. M. 66, 326 (JFM 66.0326.*). Wie sie schon an deren Schlusse andeuteten, dehnen Verf. zunächst ihre damaligen Entwicklungen auf höhere h. F. zweier Veränderlichen aus. Von den vier Formeln, die sie erhalten, sei die erste wiedergegeben: \[ \displaylines{ F\bigg[\vcenter{\halign{\(#\)\hfil&&\;\(#\)\hfil\cr h;&a,&b;&a',&b';\cr &h,&c;&h,&c';&\cr}}\;x,y\bigg]= {\sum\limits_{r=0}^{\infty}}\frac{(a)_r(b)_r(a')_r(b')_r}{r!(h)_r(c)_r(c')_r} x^ry^r \hfill\cr \hfill \times F(a+r,\,b+r;\,c+r;\,x)\,F(a'+r,\,b'+r;\,c'+r;\,y). \cr} \] Die meisten ihrer weiteren Ergebnisse sind Sonderfälle der Formeln in (I), die bei besonderen Werten der Argumente oder Parameter der h. F. zustande kommen. Sie betreffen zunächst die Gaußsche Funktion \({}_2F_1\); Verf. erhalten für sie einen Summensatz in bezug auf den zweiten Parameter, ferner eine Formel für die Verdoppelung ihres Arguments und verwandte Entwicklungen bei andern Abwandlungen der Unabhängigen, nämlich für \(F (a, b; c; 2x - x^2)\), \(F (a, b; c; x^2)\). -Wie in (I) die Appellschen Funktionen, so entwickeln Verf. hier deren von P. Humbert eingeführte Entartungen \(\boldsymbol \varPhi\), \(\boldsymbol \varXi\), \(\boldsymbol \varTheta\) nach Malwerten Gaußscher und Kummerscher (\({}_1F_1\)-)Funktionen; sie stellen sechsundzwanzig Reihen dieser Art auf, deren erste angeführt werde: \[ \begin{split} \boldsymbol \varPsi_1(a; b; c, c'; x, y)\\ ={\sum\limits_{r=0}^{\infty}}\frac{(a)_r(b)_r}{r!(c)_r(c')_r} x^ry^rF(a + r,b + r;c + r;x){}_1F_1(a + r; c' + r; y). \end{split} \]
Andre darunter beziehen sich auf Malwerte, von deren zwei Malteilen der eine eine h. F., der andre eine entartete h. F. einer Veränderlichen ist oder beide entartete h. F. sind. – Von den Reihen gelangen Verf. zu Integralausdrücken der entwickelten Funktionen auf demselben Wege wie in (I). – Darauf folgt eine Lese verschieden gearteter Formeln, unter ihnen manche bekannte. Eine Gruppe davon betrifft den Gestaltswandel entarteter h. F., in einer zweiten findet sich z. B. die Neumannsche Reihe der Potenz. – Verf. schließen mit der Anwendung vorhergehender Ergebnisse auf Whittakersche Funktionen und ihrer Besonderung auf Fälle, in denen \({}_1F_1\) ein Laguerresches Polynom wird. Sie finden dabei außer neuen Entwicklungen einige bekannte wieder, z. B. die des Malwerts \(L_n^\alpha(x)L_n^\alpha(y)\) nach den mit \(x^ry^r\) vervielfachten \(L_{n-r}^{\alpha+2r}(x+y)\) und ihre – neue – Umkehrung. – Am Ende der Formel (78) ergänze (\(x\)).

Citations:

JFM 66.0326.*
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