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A minimum problem in the theory of analytic functions. (English) JFM 67.1021.01
Anknüpfend an Untersuchungen von F. Riesz (Acta math., Stockholm, 42 (1920), 145-171; F. d. M. 47, 272 (JFM 47.0272.*)) und S. Kakeya (Proc. phys.-math. Soc. Japan (3) 3 (1921), 48-58) behandelt Verf. das folgende Minimumproblem: Es soll für eine längs des Einheitskreises \(|z|=1\) erklärte komplexe, im Lebesgueschen Sinne integrable Funktion \(f(z)\) das Integral \[ {\int\limits_{|z|=1}}|f(z)-p(z)|\,|dz| \tag{1} \] zum Minimum gemacht werden, wobei \(p (z)\) die längs \(|z|=1\) erklärten komplexen, im Lebesgueschen Sinne integrablen Funktionen vorn Potenzreihentypus durchläuft. (Dabei heißt \(p(z)\) eine Funktion vom “Potenzreihentypus”, wenn für ihre Fourierreihe \[ f(z)\sim{\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}}a_nz^n\quad\text{mit}\quad a_n=\frac1{2\pi}{\int\limits_{0}^{2\pi}}f(e^{i\theta})e^{-ni\theta}\,d\theta \] die Koeffizienten \(a_{-1}, a_{-2},\dots\) verschwinden; eine Funktion dieser Art stimmt fast überall längs \(|z|=1\) mit der Randfunktion einer in \(|z|<1\) analytischen Funktion überein.) Es wird gezeigt, daß bei vorgegebenem \(f(z)\) in der Tat eine (von den Punkten einer Nullmenge abgesehen) eindeutig bestimmte Funktion \(p(z)=g(z)\) existiert, die dem Integral (1) ein Minimum verleiht.
Weiter wird die Klasse der “Minimalfunktionen” im Sinne des vorstehenden Problems untersucht, d. h. die Klasse der Funktionen \(h(z)\), welche sich als Differenz \(h (z)= f (z) - g (z)\) einer Funktion \(f(z)\) und der ihr entsprechenden Funktion \(g (z)\) darstellen lassen. Die Resultate des Verf. besagen: (1) Die Minimalfunktionen lassen sich charakterisieren als die Funktionen der Form \(h (z) = \dfrac{\sigma(z)}{zp(z)}\), wo \(p (z)\) eine Funktion vom Potenzreihentypus bedeutet, deren Betrag längs \(|z|=1\) fast überall \(\leqq1\) ist, während \(\sigma(z)\) eine längs \(|z|=1\) nichtnegative integrable Funktion bedeutet, die fast überall verschwindet, wo \(| p(z) | < 1\) ist. – (2) Hat \(f(z)\) speziell die Form \(f(z) = u(z)\Big/{\prod\limits_{j=1}^{n}}(z-\alpha_j)\) mit \(|\alpha_j| < 1\) für \(j = 1, 2,\dots, n\), wo \(u(z)\) vom Potenzreihentypus sein soll, so hat die zugehörige Minimalfunktion \(f (z) - g (z)\) die Form \(G (z)\Big/{\prod\limits_{j=1}^{n}}(z -\alpha_j)(1 -\overline{\alpha}_jz)\), wo \(G (z)\) ein durch \(f (z)\) eindeutig bestimmtes Polynom vom Grade \(\leqq2n - 2\) bedeutet. – (3) Ist \(h (z) ={\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}a_nz^n\) eine im Kreisring \(\dfrac1K<|z|<K\) analytische Minimalfunktion und wird \(h_1(z) ={\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}\overline{a}_nz^{-n}\) gesetzt, so läßt sich \(h_1/h\) über die ganze Ebene analytisch fortsetzen; genauer ist \(h_1/h\) eine rationale Funktion, die in \(|z|<1\) keinen Pol besitzt, und die in \(z = 0\) eine zweifache Nullstelle hat. Daraus lassen sich noch weitere Aussagen über den Verlauf von \(h (z)\), insbesondere über die Verteilung ihrer Nullstellen im Kreisring \(\dfrac1K<|z|<K\) entnehmen.
Die Arbeit schließt mit Angaben über einige Modifikationen des hier behandelten Minimumproblems.

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