Solution of the inverse problem of the calculus of variations. (English) JFM 67.1038.01

Douglas, J.

Trans. Amer. math. Soc. 50, 71-128 (1941).

Verf. untersucht das Problem, zu einem gegebenen Differentialgleichungssystem \[ y^{\prime \prime}=F(x, \,y, \,z, \,y', \,z'), \;\; z^{\prime \prime}=G(x, \,y, \,z, \,y', \,z') \tag{1} \] ein Lagrangesches Variationsproblem ohne Nebenbedingungen zu finden, dessen Extremalen mit den Lösungen von (1) identisch sind. Das ist natürlich nicht immer möglich; vielmehr erfordert die Diskussion der Aufgabe die sorgfältige Unterscheidung einer großen Anzahl von Einzelfällen. Wird der Integrand des gesuchten Variationsproblems mit \(\varphi(x, \,y, \,z, \,y', \,z')\) bezeichnet, so ergibt sich zunächst ein System linearer partieller Differentialgleichungen für die drei partiellen Ableitungen 2. Ordnung von \(\varphi\) nach \(y'\) und \(z'\). Existiert eine Lösung dieses Systems, so kann man aus ihr \(\varphi\) durch Quadraturen finden, wobei noch eine additive totale Ableitung willkürlich bleibt. Zur Diskussion des partiellen Differentialgleichungssystems zieht Verf. die Theorie von Riquier heran und gelangt zu einer vollständigen Erledigung aller Einzelfälle. Insbesondere lassen sich Beispiele von Systemen (1) augeben, zu denen kein erzeugendes Variationsproblem existiert. Die Arbeit ist eine Ausführung der in Proc. nat. Acad. Sci. USA 26 (1940), 215-221 angezeigten Ergebnisse.

Reviewer: Radon, J., Prof. (Breslau)

JFM Section:

Heft 7. D. Analysis. 13. Variationsrechnung. a) Allgemeine Theorie.

References:

[1]	G. Darboux, Leçons sur la Théorie Générale des Surfaces, Paris, 1894, §§604, 605. · JFM 19.0746.02
[2]	Georg Hamel, Über die Geometrieen, in denen die Geraden die Kürzesten sind, Math. Ann. 57 (1903), no. 2, 231 – 264 (German). · JFM 34.0527.01 · doi:10.1007/BF01444348
[3]	C. G. J. Jacobi, Zur Theorie der Variationsrechnung und der Differentialgleichungen, Werke, vol. 4.
[4]	A. Hirsch, Über eine charakteristische Eigenschaft der Differentialgleichungen der Variationsrechnung, Mathematische Annalen, vol. 49 (1897), pp. 49-72. · JFM 28.0322.01
[5]	Josef Kürschák, Über eine charakteristische Eigenschaft der Differentialgleichungen der Variationsrechnung, Math. Ann. 60 (1905), no. 1, 157 – 165 (German). · JFM 36.0431.02 · doi:10.1007/BF01447499
[6]	David R. Davis, The inverse problem of the calculus of variations in higher space, Trans. Amer. Math. Soc. 30 (1928), no. 4, 710 – 736. · JFM 54.0533.01
[7]	D. R. Davis, The inverse problem of the calculus of variations in a space of (\?+1) dimensions, Bull. Amer. Math. Soc. 35 (1929), no. 3, 371 – 380. · JFM 55.0293.05
[8]	Jesse Douglas, Solution of the inverse problem of the calculus of variations, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 25 (1939), 631 – 637. · Zbl 0023.13702
[9]	Jesse Douglas, Theorems in the inverse problem of the calculus of variations, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 26 (1940), 215 – 221. · Zbl 0027.07001