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Sui cerchi ortogonali a due cerchi dati. (French) JFM 67.1069.03

Rev. Univ. Nac. Tucuman, A 2, 87-94 (1941).
B. Gambier (Bull. Sci. math. (2) 63 (1939), 233-238; F. d. M. 65, 671 (JFM 65.0671.*)) hat im Raume zwei nicht verknotete Kreise betrachtet und die Konstruktion eines dritten Kreises angegeben, der die zwei gegebenen Kreise je zweimal und orthogonal trifft; die Konstruktion läßt sich zurückführen auf die Bestimmung eines Punktepaares \(CC'\) (in der Ebene einer komplexen Veränderlichen \(z = x + iy\)), das zwei gegebene Punktepaare \(AA'\), \(BB'\) harmonisch trennt. Das Problem hat im reellen Gebiete eine einzige Lösung. Es gibt aber auch eine imaginäre Lösung; die analytische Behandlung der Aufgabe in der komplexen Ebene \(z\) läßt sie jedoch nicht erscheinen. Es wird hier bemerkt, daß man beide Lösungen durch die analytische Methode erhalten kann, wenn in der Ebene \(z\) auch die komplexen Punkte eingeführt werden so daß diese Ebene als Bild der Elemente einer bikomplexen Gerade aufgefaßt wird.
Die übliche lineare Darstellung der Kugeln des Raumes auf den Hyperebenen des Raumes \(S_{4}\) durch die stereographische Projektion einer Hyperkugel im \(S_{4}\) gestattet dann, jene geometrische Aufgabe in einer Form zu behandeln, die die zwei Lösungen immer erscheinen läßt, auch im Falle, wo die zwei gegebenen Kreise verknotet sind. Zwei besondere Fälle sind hervorzuheben: der Fall von zwei parataktischen Kreisen, in welchem \(\infty ^1\) Lösungen vorhanden sind, und der Fall von zwei biinvolutorischen Kreisen, in welchen es \(\infty ^2\) Lösungen gibt.
Schließlich kann man eine geometrische Lösung im dreidimensionalen Raume auf die Bestimmung der Doppelelemente einer quadratischen Transformation in einem Ebenenbündel begründen.

Citations:

JFM 65.0671.*