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Remarques sur les théorèmes d’isomorphisme. (French) JFM 68.0045.03
Die beiden Isomorphiesätze der Gruppentheorie werden auf Gruppoide (Mengen mit einer Verknüpfung, vgl. auch P. Dubreil, Mém. Acad. Sci. Inst. France (2) 63 (1941), 52 S.; F. d. M. 67, 80 (JFM 67.0080.*)) ausgedehnt:
1) \(E\) sei homomorph auf das Gruppoid \(\overline{E}\) abgebildet; falls beide Gruppoide einen gemeinsamen Operatorenbereich besitzen, werde außerdem noch vorausgesetzt, daß der Homomorphismus ein zulässiger ist. Ist \(P\) die Äquivalenz in \(E\), die durch \(x_1\equiv x_2(P)\), wenn für die zugeordneten Elemente \(\overline x_1 = \overline x_2\) ist, erklärt ist, so entspricht jeder \(P\) enthaltenden Äquivalenz \(\mathfrak R\) in \(E\) eine Äquivalenz \(\overline{\mathfrak R}\) in \(\overline E\) und umgekehrt. \(\mathfrak R\) und \(\overline{\mathfrak R}\) sind beide gleichzeitig regulär und zulässig und die Quotientengruppoide \(E/\mathfrak R\) und \(\overline{E/\mathfrak R}\) sind zulässig isomorph.
2) Mit \(P_M\) bezeichnen wir die Äquivalenz \(P\), wenn sie nur auf der Teilmenge \(M\) von \(E\) betrachtet wird, mit \(S=P(M)\) die Gesamtheit aller zu einem Element aus \(M\) äquivalenten Elemente aus \(E\). Ist nun \(P\) im Gruppoid \(E\) eine reguläre und zulässige Äquivalenz, so ist es auch \(P_M\) in \(M\), \(S\) ist eine zulässige Untergruppe, in der \(P_S\) regulär und zulässig ist, und es gilt der zulässige Isomorphismus \(M/P_M\simeq S/P_S\).

Subjects:
C. Arithmetik und Algebra. 4. Gruppentheorie. e) Verallgemeinerungen.
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