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Cours d’analyse mathématique. I. Théorie des fonctions. (French) JFM 68.0099.03
522 p. Paris, Masson (1942).
Der vorliegende erste Band dieses neuen, vielversprechenden Cours d’analyse behandelt die Theorie der reellen und komplexen Funktionen; der zweite Band wird den Funktionalgleichungen gewidmet sein. Von den 17 Kapiteln des ersten Bandes haben die ersten elf die Analysis der reellen, die restlichen sechs die der komplexen Funktionen zum Inhalt. Dabei wird die Kenntnis der elementaren und formalen Infinitesimalrechnung bereits vorausgesetzt, so daß es sich, vor allem im ersten Teil, um eine gründliche Vertiefung und Weiterführung handelt, die alle einschlägigen Teilgebiete der Analysis berührt. Die an Einzelheiten sehr reichhaltige, inhaltvolle Darstellung ist trotz ihrer Dichte von angenehmer Klarheit und Prägnanz und strebt auch an schwierigeren Stellen nach klassischer Einfachheit; man erkennt an der folgenden Inhaltsangabe, daß auch weniger bekannte Dinge behandelt und z. T. neu geformt worden sind.
Inhalt. I. Zahlen, Mengen, Grenzwerte. Irrationalzahlen nach Dedekind; Punktmengen, Überdeckungssätze, Grenzwerte, Liouvillesche Zahlen; Kettenbrüche, Diophantische Approximationen; räumliche Punktmengen, Jordan- und Peanokurven.
II. Unendliche Reihen und Produkte. Konvergenzkriterien, Vertauschung von Grenzübergängen bei Funktionenreihen, Anwendung auf Teilbruchentwicklung des cotang; Doppelreihen mit Anwendung auf ganze und elliptische Funktionen; unendliche Produkte, Anwendung auf sin- und \(\zeta\)-Funktion, Gaußsches Konvergenzkriterium.
III. Stetige Funktionen einer Veränderlichen. Grundeigenschaften stetiger Funktionen; Fundamentalsatz der Algebra; Funktionen beschränkter Schwankung, Zusammenhang mit Rektifikationsproblem, monotone, konvexe Funktionen; verschiedene Ableitungsbegriffe.
IV. Riemannsches Integral. Grundsätze, Schwarzsche Ungleichung; Transzendenz von \(e\) und \(\pi\); Rektifikation und ebene Inhaltsprobleme, Prinzip vom Argument, Sturmsche Ketten; uneigentliche Integrale; Stieltjesintegrale, Kurvenintegrale.
V. Lebesguesches Integral. Maßtheorie linearer Mengen. Integrationstheorie in einer Veränderlichen.
VI. Reihen- und Integraldarstellungen reeller Funktionen. Sätze über gleichmäßige Konvergenz, Vertauschung von Integral und Grenzübergang, Differentiation nach Parameter. Differentiation und Integration von Funktionsreihen. Eine stetige, nirgends differenzierbare Funktion. – Analytische und quasianalytische Funktionen einer reellen Variablen. Als Beispiel die \(\varGamma\)-Funktion nach der Definition durch das bestimmte Integral.
VII. Trigonometrische Reihen und Verallgemeinerungen. Fourierreihen, Sätze von Dirichlet, Jordan, Fejér. Anwendung auf das Isoperimeterproblem und die schwingende Saite. Etwas über fastperiodische Funktionen.
VIII. Berechnung bestimmter Integrale. Reduktion rationaler, elliptischer und hyperelliptischer integrale, Abelsche Integrale, rationale und elliptische Kurven. -Theorie der Legendreschen und Bernoullischen Polynome. – Anwendung in der Stirlingschen Reihe und der Euler-Maclaurinschen Summenformel. Lagrangesche und Gaußsche Interpolation, Quadraturformeln.
IX. Reelle Funktionen mehrerer Variablen. Differentialrechnung dieser Punktionen. Implizite Funktionen, ebene Punkttransformationen, Punktionaldeterminanten. Freie und gebundene Extrema. Berührungstransformationen des Raumes, speziell von Legendre, Ampére, Lie.
X. Doppelintegrale. Eigentliche und uneigentliche Doppelintegrale, Gauß-Greensche Sätze, Stokessche Formel.
XI. Drei- und mehrfache Integrale.
XII. Grundbegriffe der komplexen Funktionentheorie. Ausführliche Behandlung der konformen Abbildung durch linear-gebrochene Funktionen; Transformationen des Kreisinnern in sich. Geometrie in der Poincaréschen Halbebene, Potenzreihen. Einfachste mehrdeutige Funktionen; Riemannsche Flächen.
XIII. Integral- und Residuensätze. U. a. Schwarzsches Lemma, Hadamards Satz über den Realteil. Meromorphe Funktionen, Satz von Mittag-Leffler nebst Anwendungen. Laurentreihen, Residuensatz. Nullstellen, Nullstellensatz von Laguerre. Berechnung einiger bestimmter Integrale.
XIV. Weierstraßsche Theorie. Potenzreihen, Randverhalten, Satz von Poincaré-Volterra über die Bestimmung einer analytischen Funktion durch abzählbarviele Elemente, analytische Fortsetzung. Integralperioden. Jensensche, Poissonsche, Nevanlinnasche Formel. Weierstraßsche Produktzerlegung. Ganze Funktionen endlicher Ordnung, Sätze von Hadamard und Borel, Bestimmung der Ordnung aus der Potenzreihe.
XV. Konforme Abbildung. Normalfamilien. Riemannscher Abbildungssatz bei einfach-zusammenhängenden Gebieten. Spiegelungsprinzip. Schwarzsche Polygonabbildung. Picardscher, Landauschen Schottkyscher und Juliascher Satz mit der Methode der Modulfunktion.
XVI. Elliptische Funktionen. Umkehrung des elliptischen Integrals. Weierstraßsche Theorie. Loxodromische Funktionen, d. h. solche, die gegenüber der Transformation \(z\to sz\), \(|s|\neq 1\) invariant und zugleich eindeutig sind; sie lassen sich durch \(S(z)= \prod\limits_{n=0}^\infty \bigg(1-\dfrac{z}{s^n}\bigg) \prod\limits_{n=1}^\infty \bigg(1-\dfrac{1}{zs^n}\bigg)\) ausdrücken und eröffnen nach Rausenberger einen einfachen Zugang zu den Jacobischen Funktionen, die ausführlich behandelt sind. Elliptische Modulfunktion.
XVII. Durch Integrale definierte analytische Funktionen. Hankels Formel für die reziproke \(\varGamma\)-Funktion. Mittag-Lefflers \(E\)-Funktionen. Phragmén-Lindelöfsche Sätze. Summationsverfahren nach Borel, Mittag-Leffler u. a. Riemannsche Zetafunktion, Beweis des Hadamard-de la Vallée Poussinschen Primzahlsatzes.