Sur quelques propriétés des cercles de remplissage des fonctions méromorphes. (French) JFM 68.0164.01

Dufresnoy, J.

Ann. sci. École norm. sup. (3) 59, 187-209 (1942).

Enthält Beweise von Sätzen, die Verf. in einer vorläufigen Mitteilung (s. die vorstehende Besprechung) angegeben hat. Früher bewies Verf.: Ist \(F(z)\) in \(|z| < R\) meromorph, und ist \(S(r)\) der Inhalt des Bildgebietes von \(|z| < r\) auf der \(F\)-Kugel, so ist \([S(r) - n] \ln \dfrac{R}{r} < K(\delta_0)\), wenn \(F\) in \(|z| < r\) drei Werte \(a_1, a_2, a_3\) mit dem kleinsten Kugelabstand \(\delta_0\) höchstens \(n\)-mal insgesamt annimmt. Durch Normierung der Punkte \(a_\nu\) mittels Lineartransformation gelangt Verf. zu einer wesentlichen Verbesserung von \(K(\delta_0)\). Die Verbesserung kommt auch dem aus diesem Satze abgeleiteten erweiterten Landauschen Satze zugute, welcher aus der Nichtannahme von \(a_1, a_2, a_3\) eine Schranke \(K_1(\delta_0)\) für \(R|F'(z)|:(1 + |F(0) |^2)\) findet. Ist nun \(|z| \,| F'(0) |: (1+ | F(z)|^2)\) nicht beschränkt, so läßt sich unschwer die Existenz von “cercles de remplissage” zeigen, d. h. von Kreisen \(|z-z_k| <\varrho_k\) mit \(| z_k| \to \infty\), \(|z_k |: \varrho_k\to \infty\), in welchen alle Werte von \(F (z)\) angenommen werden, außer vielleicht solche, die in zwei Kreisen mit Radien \(\delta_k\), die gegen 0 streben, liegen. Durch geeignete Einteilung des Ringes \(r < | z | < R\) und Anwendung der oben erwähnten verbesserten Konstante findet Verf. sogar daselbst ein \(z_k\), derart, daß für gegebenes \(p = |z_k|: \varrho_k> 1\) die Funktionswerte aus \(|z - z_k|<\varrho_k\) die \(F\)-Kugel \(n_k\)-mal bedecken mit Ausnahme von zwei Kreisen mit dem Radius \(e^{-n}k\), wobei \[ n_k > \dfrac{K(S(R)-S(r))}{p^2\biggl(1+\ln \dfrac{R}{r}\biggr)}-K_1. \] Ist \(\varlimsup\limits_{r=\infty}S(r): \ln r=\infty\), so kann daraus gefolgert werden, daß \(n_k\) zugleich mit \(|z_k|\) gegen \(\infty\) strebt. – Es folgen noch Untersuchungen über Funktionen nicht verschwindender Ordnung sowie von Funktionen, welche nur im Einheitskreise meromorph sind.

Reviewer: af Hällström, G., Dr. (Abo)

JFM Section:

D. Analysis. 8. Funktionen komplexer Veränderlicher. d) Ganze und meromorphe Funktionen.