×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur quelques propriétés des cercles de remplissage des fonctions méromorphes. (French) JFM 68.0164.01
Enthält Beweise von Sätzen, die Verf. in einer vorläufigen Mitteilung (s. die vorstehende Besprechung) angegeben hat. Früher bewies Verf.: Ist \(F(z)\) in \(|z| < R\) meromorph, und ist \(S(r)\) der Inhalt des Bildgebietes von \(|z| < r\) auf der \(F\)-Kugel, so ist \([S(r) - n] \ln \dfrac{R}{r} < K(\delta_0)\), wenn \(F\) in \(|z| < r\) drei Werte \(a_1, a_2, a_3\) mit dem kleinsten Kugelabstand \(\delta_0\) höchstens \(n\)-mal insgesamt annimmt. Durch Normierung der Punkte \(a_\nu\) mittels Lineartransformation gelangt Verf. zu einer wesentlichen Verbesserung von \(K(\delta_0)\). Die Verbesserung kommt auch dem aus diesem Satze abgeleiteten erweiterten Landauschen Satze zugute, welcher aus der Nichtannahme von \(a_1, a_2, a_3\) eine Schranke \(K_1(\delta_0)\) für \(R|F'(z)|:(1 + |F(0) |^2)\) findet. Ist nun \(|z| \,| F'(0) |: (1+ | F(z)|^2)\) nicht beschränkt, so läßt sich unschwer die Existenz von “cercles de remplissage” zeigen, d. h. von Kreisen \(|z-z_k| <\varrho_k\) mit \(| z_k| \to \infty\), \(|z_k |: \varrho_k\to \infty\), in welchen alle Werte von \(F (z)\) angenommen werden, außer vielleicht solche, die in zwei Kreisen mit Radien \(\delta_k\), die gegen 0 streben, liegen. Durch geeignete Einteilung des Ringes \(r < | z | < R\) und Anwendung der oben erwähnten verbesserten Konstante findet Verf. sogar daselbst ein \(z_k\), derart, daß für gegebenes \(p = |z_k|: \varrho_k> 1\) die Funktionswerte aus \(|z - z_k|<\varrho_k\) die \(F\)-Kugel \(n_k\)-mal bedecken mit Ausnahme von zwei Kreisen mit dem Radius \(e^{-n}k\), wobei \[ n_k > \dfrac{K(S(R)-S(r))}{p^2\biggl(1+\ln \dfrac{R}{r}\biggr)}-K_1. \] Ist \(\varlimsup\limits_{r=\infty}S(r): \ln r=\infty\), so kann daraus gefolgert werden, daß \(n_k\) zugleich mit \(|z_k|\) gegen \(\infty\) strebt. – Es folgen noch Untersuchungen über Funktionen nicht verschwindender Ordnung sowie von Funktionen, welche nur im Einheitskreise meromorph sind.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML