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On conformal mapping of infinite strips. (English) JFM 68.0168.01
In der Ebene der komplexen Veränderlichen \(w=u+iv\) liege der Streifen \(S\), der durch \(\varPhi_{-}(u)<v<\varPhi_{+}(u)\) bestimmt wird, wobei \(\varPhi_{-}(u)\) und \(\varPhi_{+}(u)\) für \(-\infty<u<+\infty\) stetig sind und \[ \frac{\varPhi_{+}(u_2)-\varPhi_{+}(u_1)}{u_2-u_1} \,\text{ und } \, \frac{\varPhi_{-}(u_2)-\varPhi_{-}(u_1)}{u_2-u_1} \,\text{ für } \, u_1 \to +\infty, \,u_2 \to +\infty \] demselben Grenzwerte zustreben. Die Funktion \(Z(w)=X(w)+iY(w)\) möge den Streifen \(S\) auf den Parallelstreifen \(|\,Y\,|<\dfrac{\pi}{2}\) abbilden, wobei der rechte Zipfel von \(S\) in den rechten Zipfel des Bildstreifens übergehen soll. Verf. schätzt die Differenz \(X(w_2)-X(w_1)\) im rechten Zipfel nach oben und nach unten ab und kommt unter weiteren einschränkenden Voraussetzungen zu einer asymptotischen Darstellung der Abbildungsfunktion \(Z(w)\). Die Abschätzungen ähneln gewissen Ungleichheiten von Ahlfors (Acta Soc. Sci. Fennicae (2) A 1 (1930), Nr. 9; F. d. M. 56, 984), sind aber schärfer, da weitergehende Voraussetzungen gemacht werden. Durch Transformation des Zipfels ins Endliche erhält man Aussagen über das Randverhalten der Funktion, die das Innere einer Jordankurve auf das Innere des Einheitskreises abbildet, insbesondere in der Nähe von Ecken und Spitzen. Diese Sätze stellen gewisse Verallgemeinerungen von Ergebnissen von Carathéodory (Schwarz-Festschrift 1914, 19-41 und Conformal representation, Cambridge Tracts Nr. 28; (1932); F. d. M. 45, 667; 58, 354) und Ostrowski (Acta math., Uppsala, 64 (1935), 81-185; F. d. M. 61, 359) dar.

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References:
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