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Ein neues Verfahren der schrittweisen Näherungen zur Lösung von \(y' = f(x, \,y)\). (German) JFM 68.0181.04
Dieses Verfahren, das von \(f(x, \,y)\) nur Stetigkeit und Lipschitzbedingung voraussetzt, hat gegenüber dem üblichen, sogenannten Picardschen Näherungsverfahren die Vorteile, daß es monotone Folgen von Näherungsfunktionen und ein im allgemeinen viel größeres Konvergenzintervall liefert. Es gründet sich auf die Methode der Ober- und Unterfunktionen, und zwar beweist Verf. folgende Sätze: Ist \(u(x)\) eine durch \((x_0, \,y_0)\) gehende Ober-(Unter-)funktion von \(y'=f(x,\,y)\), so ist \(v=u-\int\limits_{x_0}^{x} e^{-L(x-t)} \,h(t) \,dt\) eine verbesserte Ober-(Unter-)funktion, wobei \(h(x)=u'(x)-f[x, \,u(x)]\) und \(L\) die Lipschitzkonstante ist. Dagegen ist \(v=u-\int\limits_{x_0}^{x} e^{L(x-t)} \,h(t)dt\) eine Unter-(Ober-)funktion von \(y'=f(x, \,y)\). Unter fortgesetzter Anwendung dieser beiden Sätze bildet Verf. Folgen von Ober- oder Unterfunktionen – auch Ober- und Unterfunktionen abwechselnd –, durch die die Lösung gleichmäßig approximiert wird. – Beim Picardschen Verfahren sind die Näherangsfunktionen \(u_n=y_0+\int\limits_{x_0}^{x}f(t, \,u_{n-1})dt\) im allgemeinen weder Ober- noch Unterfunktionen. Verf. zeigt aber, daß sich ihnen Ober- oder Unterfunktionen zuordnen lassen, deren Folgen monoton gegen die Lösung streben. Schließlich wird ein Satz von Bendixson Müller wieder bewiesen und ein Gegenstück dazu aufgestellt, wonach bei stetigem, in \(y\) monotonem \(f(x, \,y)\) – auch ohne Lipschitzbedingung! – bei passend gewählter Ausgangsfunktion die Picardschen Näherungsfunktionen selbst Ober- oder Unterfunktionen sind. – Die Arbeit enthält zahlreiche Beispiele.
Reviewer: Von Schwarz, J.
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